微分中值定理有關證明

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1、☆例1設在[0，3]上連續(xù)，在（0，3）內可導，且，.試證：必存在，使證：∵在[0，3]上連續(xù)，∴在[0，2]上連續(xù)，且有最大值和最小值.于是；；，故.由連續(xù)函數(shù)介值定理可知，至少存在一點使得，因此，且在[，3]上連續(xù)，（，3）內可導，由羅爾定理得出必存在使得?！罾?設在[0，1]上連續(xù)，（0，1）內可導，且求證：存在使證：由積分中值定理可知，存在，使得得到對在[0，c]上用羅爾定理，（三個條件都滿足）故存在，使☆例3設在[0,1]上連續(xù)，(0，1)內可導，對任意，有，求證存在使證：由積分中值定理可知存在使得令，可知這樣，對在上用羅爾定理（三個條件都滿足）存在，使而∴又，則在例3的條件和結論中

2、可以看出不可能對用羅爾定理，否則結論只是，而且條件也不滿足。因此如何構造一個函數(shù)，它與有關，而且滿足區(qū)間上羅爾定理的三個條件，從就能得到結論成立，于是用羅爾定理的有關證明命題中，如何根據(jù)條件和結論構造一個合適的是非常關鍵，下面的模型Ⅰ，就在這方面提供一些選擇。模型Ⅰ：設在上連續(xù)，（）內可導，則下列各結論皆成立。（1）存在使（為實常數(shù)）（2）存在使（為非零常數(shù)）（3）存在使（為連續(xù)函數(shù)）證：（1）令，在上用羅爾定理∵∴存在使消去因子，即證.（2）令，在上用羅爾定理存在使消去因子，即證。（3）令，其中由清去因子，即證。例4設在上連續(xù)，在（0，1）內可導，，，試證：（1）存在，使。（2）對任意實數(shù)，

3、存在，使得證明：（1）令，顯然它在[0,1]上連續(xù)，又，根據(jù)介值定理，存在使即（2）令，它在上滿足羅爾定理的條件，故存在，使，即從而（注：在例4（2）的證明中，相當于模型Ⅰ中（1）的情形，其中取為，取為）模型Ⅱ：設，在上皆連續(xù)，（）內皆可導，且，，則存在，使證：令，則，顯然在[]上滿足羅爾定理的條件，則存在，使，即證.例5設在[0,1]上連續(xù)，（0,1）內可導，，為正整數(shù)。求證：存在使得證：令，，則，，用模型Ⅱ，存在使得故則例6設在內可導，且，求證在內任意兩個零點之間至少有一個的零點證：反證法：設，，而在內，則令在上用羅爾定理[]（不妨假設否則結論已經(jīng)成立）則存在使，得出與假設條件矛盾。所以在

4、內至少有一個零點例7設在[]二階可導，且，又求證：（1）在（）內；（2）存在，使證：（1）用反證法，如果存在使，則對分別在[]和[]上用羅爾定理，存在使，存在使，再對在[]上用羅爾定理存在使與假設條件矛盾。所以在內（2）由結論可知即，因此令，可以驗證在[]上連續(xù)，在內可導，滿足羅爾定理的三個條件故存在，使于是成立例8設在上連續(xù)，（0，3）內二階可導，且（I）證明存在使（II）證明存在使證：（I）由積分中值定理，存在，使故存在使即（Ⅱ）由，可知，∵在上連續(xù)由價值定理可知存在，使，由于在上連續(xù)，內可導，且根據(jù)羅爾定理存在，使又在上連續(xù)，內可導，且根據(jù)羅爾定理存在（可知）使，最后對在上用羅爾定理可知

5、存在使