微積分第六章定積分的應(yīng)用

《微積分第六章定積分的應(yīng)用》由會員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在應(yīng)用文檔-天天文庫。

1、第六章定積分的應(yīng)用本章將應(yīng)用第五章學(xué)過的定積分理論來分析和解決一些幾何、物理中的問題，其目的不僅在于建立這些幾何、物理的公式，而且更重要的還在于介紹運(yùn)用元素法將一個(gè)量表達(dá)為定積分的分析方法。一、教學(xué)目標(biāo)與基本要求：使學(xué)生掌握定積分計(jì)算基本技巧；使學(xué)生用所學(xué)的定積分的微元法（元素法）去解決各種領(lǐng)域中的一些實(shí)際問題；掌握用定積分表達(dá)和計(jì)算一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉(zhuǎn)體的體積及側(cè)面積、平行截面面積為已知的立體體積、變力作功、引力、壓力及函數(shù)的平均值等）二、本章教學(xué)內(nèi)容的重點(diǎn)難點(diǎn)：找出未知量

2、的元素（微元）的方法。用元素法建立這些幾何、物理的公式解決實(shí)際問題。運(yùn)用元素法將一個(gè)量表達(dá)為定積分的分析方法§6.1定積分的微小元素法一、內(nèi)容要點(diǎn)1、復(fù)習(xí)曲邊梯形的面積計(jì)算方法，定積分的定義面積面積元素=2、計(jì)算面積的元素法步驟：（1）畫出圖形；（2）將這個(gè)圖形分割成個(gè)部分，這個(gè)部分的近似于矩形或者扇形；（3）計(jì)算出面積元素；（4）在面積元素前面添加積分號，確定上、下限。二、教學(xué)要求與注意點(diǎn)掌握用元素法解決一個(gè)實(shí)際問題所需要的條件。用元素法解決一個(gè)實(shí)際問題的步驟?！?.2定積分在幾何中的應(yīng)用一、內(nèi)容要點(diǎn)1、在直

3、角坐標(biāo)系下計(jì)算平面圖形的面積方法一第-47–頁面積元素=，面積=第一步：在邊界方程中解出的兩個(gè)表達(dá)式，.第二步：在剩下的邊界方程中找出的兩個(gè)常數(shù)值，；不夠時(shí)由解出，，，面積=方法二面積元素=，面積=第一步：在邊界方程中解出的兩個(gè)表達(dá)式，.第二步：在剩下的邊界方程中找出的兩個(gè)常數(shù)值，；不夠時(shí)由解出，，，面積=例1求，圍成的面積解，，，。當(dāng)時(shí)，于是面積例2計(jì)算圍成的面積解由，得，，當(dāng)時(shí)面積==18。2、在曲邊梯形、、、（）中，如果曲邊的方程為參數(shù)方程為，則其面積=，其中例3求軸與擺線,圍成的面積解面積第-47–頁　

4、　　　例4星形線()圍成的面積.解面積=3、極坐標(biāo)系下計(jì)算平面圖形的面積。極坐標(biāo)曲線圍成的面積的計(jì)算方法：解不等式，得到。面積=4、平行截面面積為已知的空間物體的體積過軸一點(diǎn)作垂直于軸的平面，該平面截空間物體的截面面積為，,則該物體的體積例1一空間物體的底面是長半軸，短半軸的橢圓，垂直于長半軸的截面都是等邊三角形，求此空間體的體積。解截面面積5、旋轉(zhuǎn)體體積在上，曲線、直線圍成的曲邊梯形1）繞軸旋轉(zhuǎn)一周形成旋轉(zhuǎn)體，其截面面積，旋轉(zhuǎn)體體積。2）繞軸旋轉(zhuǎn)一周形成旋轉(zhuǎn)體：位于區(qū)間[x,x+dx]上的部分繞軸旋轉(zhuǎn)一周而形

5、成的旋轉(zhuǎn)體體積，原曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體體積。例2擺線　與x軸圍成的圖形1）繞軸旋轉(zhuǎn)形成的旋轉(zhuǎn)體體積第-47–頁=2）繞軸旋轉(zhuǎn)形成的旋轉(zhuǎn)體體積=3）繞旋轉(zhuǎn)形成的旋轉(zhuǎn)體的截面面積。繞旋轉(zhuǎn)形成的旋轉(zhuǎn)體體積　　　　例3求心形線與射線、圍成的繞極軸旋轉(zhuǎn)形成的旋轉(zhuǎn)體體積解心形線的參數(shù)方程為，，旋轉(zhuǎn)體體積==6、平面曲線的弧長曲線方程自變量的范圍弧微分弧長顯函數(shù)參數(shù)方程極坐標(biāo)表中當(dāng)時(shí)，，，，，弧微分。例1求擺線　的長解　，，。弧長第-47–頁例2擺線上求分?jǐn)[線第一拱成1：3的點(diǎn)的坐標(biāo)解　設(shè)A點(diǎn)滿足要求，此時(shí)。根據(jù)

6、例2擺線第一拱成弧長，。由條件弧OA的長為，即,,點(diǎn)A的坐標(biāo)為例3求星形線的全長解　星形線的參數(shù)方程為,,,，.弧長。例4求對數(shù)螺線上到的一段弧長解，弧長==二、教學(xué)要求與注意點(diǎn)掌握用定積分表達(dá)和計(jì)算一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉(zhuǎn)體的體積及側(cè)面積、平行截面面積為已知的立體體積一、直角坐標(biāo)的情形定理1：由兩條連續(xù)曲線,以及直線x=a,x=b所圍平面圖形的面積為：證明：有微小元素法：,則注意：第-47–頁1．從幾何意義容易看出2．若無這一條件，則面積3．同理，曲線與y=c,y=d所圍區(qū)域的

7、面積為，其中例1：求拋物線及其點(diǎn)和處的切線所圍成圖形的面積解：在點(diǎn)處，，切線方程在點(diǎn)處，，切線方程得交點(diǎn)定理2：若平面曲線由參數(shù)方程給出，且在[]連續(xù)，，則曲線與x=a,x=b以及x軸所圍的曲邊梯形的面積為：第-47–頁例1．求擺線x=a(t-sint),y=a(1-cost)(a>0)的一拱與x軸所為的面積解：二、極坐標(biāo)的情形定理3：設(shè)曲線且在[]上連續(xù)，非負(fù)則有曲線與射線所圍區(qū)域（稱為曲邊扇形）的面積為：證明：又微小元素法[]上的面積微元是：，所以例1、求雙紐線所圍的平面圖形的面積。解：又由圖形的對稱性以及

8、公式有：例2、求由曲線所圍圖形公共部分的面積第-47–頁解：兩曲線的交點(diǎn)+體積一、平行截面面積為已知的立體體積定理一：設(shè)V是位于[a,b]間的一空間立體，A(x)（）是截面積的函數(shù)，且在[a,b]上連續(xù)，則立體V的體積為證明：在[x,x+dx]上的體積微元是dV=A(x)dx,則體積為：例1：求由圓柱面所圍立體的體積解：由于對稱性，我們只要求第一卦限立體體積，過x點(diǎn)（）且垂直于x軸的平