例談“變化率”

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1、例談“變化率”        (1.北京林業(yè)大學(xué)理學(xué)院北京100083)  (2.張家口市第一中學(xué)河北張家口075000)    在眾多的物理量之間的關(guān)系中,有一類普遍而重要的關(guān)系,即某物理量對于另一物理量的變化率是一個新的物理量.例如:位移對時間的變化率是速度;速度對時間的變化率是加速度;對單匝線圈,電動勢等于磁通變化率;等等.變化率的幾何意義是,函數(shù)曲線在某點的切線的斜率.  近年來,隨著導(dǎo)數(shù)知識納入高中數(shù)學(xué)教材,對物理量“變化率”的理解與應(yīng)用,已成為物理高考命題的熱點.同時由于高中物理教材的局限,在多個知識點

2、上,對相關(guān)物理量之間存在的“變化率”關(guān)系,并沒有明確闡述,從而造成學(xué)生高考的難點.因此有必要在高三物理總復(fù)習(xí)中,對下列知識點從“變化率”的角度加深理解,提高解決問題的能力.  1電流是電量隨時間的變化率  對電容器充放電電路來說,電流i=ΔqΔt.  又由Δq=CΔu,  所以i=CΔuΔt.6  例1(2013年高考新課標Ⅰ卷試題)如圖1,兩條平行導(dǎo)軌所在平面與水平地面夾角為θ,間距為L.導(dǎo)軌上端接有一平行板電容器,電容為C.導(dǎo)軌處于勻強磁場中,磁感應(yīng)強度大小為B,方向垂直于導(dǎo)軌平面.在導(dǎo)軌上放置一質(zhì)量為m的金屬

3、棒,棒可沿導(dǎo)軌下滑,且在下滑過程中保持與導(dǎo)軌垂直并良好接觸.已知金屬棒與導(dǎo)軌之間的動摩擦因數(shù)為μ,重力加速度大小為g,忽略所有電阻.讓金屬棒從導(dǎo)軌上端由靜止開始下滑,求:  (1)電容器極板上積累的電荷量與金屬棒速度大小的關(guān)系;  (2)金屬棒的速度大小隨時間變化的關(guān)系.  解(1)設(shè)金屬棒m以速度v下滑時,感應(yīng)電動勢E=BLv.電容器兩極板間電壓U=E;電容器極板上積累的電荷量:q=CU,所以q=CBLv.  (2)金屬棒m受重力mg;  支持力N=mgcosθ;  滑動摩擦力f=μmgcosθ;  安培力F=B

4、li作用,做加速運動.由牛頓第二定律  mgsinθ-μmgcosθ-BLi=ma(1)  又因為i=ΔqΔt=CΔuΔt,  且Δu=BLΔv,  所以i=CBLΔvΔt=CBLa(2)  (2)式代入(1)式整理得  a=mgsinθ-μmgcosθm+B2L2(3)  由(3)式可見金屬棒沿斜面向下做勻加速直線運動,  所以v=mgsinθ-μmgcosθm+B2L2t.6  上述解題過程的關(guān)鍵是找出回路中的電流、電壓與金屬棒運動的速度、加速度之間的關(guān)系,而電流i=ΔqΔt,則是關(guān)節(jié)點與突破口.  2電場強度

5、是電勢隨空間的變化率  高中物理教材給出了勻強電場中電場強度E與電勢差U的關(guān)系:E=Ud.實際上這一關(guān)系可以推廣到非勻強電場,對任意靜電場有  E=-dφdlcosθ,  式中dφ=φ2-φ1,為相距十分臨近的兩點間的電勢差;dl為這兩點間的距離;θ為這兩點連線方向與等勢面法線方向的夾角;負號表示電場強度E的方向與電勢梯度方向相反.  特殊地,當(dāng)電場強度方向沿x軸時,在x軸上相距十分臨近的兩點間的距離為Δx,這兩點間的電勢差為Δφ,則電場強度的大小為:E=ΔφΔx.可見,電場強度是電勢隨空間的變化率,電勢隨空間變化

6、的快慢反映了電場強度的大小,電場強度的方向指向電勢降落最快的方向.  例2(2009年江蘇高考題)空間某一靜電場的電勢φ在x軸上分布如圖2所示,x軸上兩點B、C的電場強度x方向上的分量分別是EB、EC,下列說法中正確的有  A.EB的大小大于EC的大小  B.EB的方向沿x軸正方向  C.電荷在O點受到的電場力x方向上的分量最大  D.負電荷沿x軸從B移到C的過程中,電場力先做正功,后做負功  解根據(jù)電勢與電場強度的關(guān)系可知,圖象上某點切線斜率的絕對值,等于這一點的場強沿x軸方向分量的大小,即Ex=ΔφΔx=

7、ta

8、nθ

9、,其中6θ為圖象上某點切線與x軸正方向間的夾角.在圖上做出B、C兩點的切線,可見B點的切線斜率絕對值大于C點的切線斜率絕對值,即“EB的大小大于EC的大小”,所以A正確.同時,可以根據(jù)電場強度的方向是電勢降落最快的方向,判斷出EB方向沿x軸負方向,EC方向沿x軸正方向,B錯誤.  在O點的切線斜率等于零,所以電荷在O點受到的電場力x方向上的分量為零,C錯誤.  在O點左側(cè),電場沿x軸分量的方向為x軸負方向;在O點右側(cè),電場沿x軸分量的方向為x軸正方向.所以:“負電荷沿x軸從B移到C的過程中,電場力先做正功,后

10、做負功”,D正確.  例3(2010年江蘇高考題)空間有一沿x軸對稱分布的電場,其電場強度E隨x變化的圖象如圖3所示.下列說法中正確的是  A.O點的電勢最低  B.x2點的電勢最高  C.x1和-x1兩點的電勢相等  D.x1和x3兩點的電勢相等  解圖象關(guān)于原點中心對稱,說明電場強度E是沿x軸對稱分布的,電場線以O(shè)點為中心指向正、負方向,沿電場線電勢降落

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