.簡單的三角恒等變換

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1、3.2簡單的三角恒等變換整體設(shè)計(jì)教學(xué)分析本節(jié)主要包括利用已有的十一個(gè)公式進(jìn)行簡單的恒等變換,以及三角恒等變換在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用.本節(jié)的內(nèi)容都是用例題來展現(xiàn)的,通過例題的解答,引導(dǎo)學(xué)生對變換對象和變換目標(biāo)進(jìn)行對比、分析,促使學(xué)生形成對解題過程中如何選擇公式,如何根據(jù)問題的條件進(jìn)行公式變形,以及變換過程中體現(xiàn)的換元、逆向使用公式等數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí),從而加深理解變換思想,提高學(xué)生的推理能力.本節(jié)把三角恒等變換的應(yīng)用放在三角變換與三角函數(shù)間的內(nèi)在聯(lián)系上,從而使三角函數(shù)性質(zhì)的研究得到延伸.三角恒等變換不同于代數(shù)變換，后者往往著眼于式子結(jié)構(gòu)形式的變換，變換內(nèi)容比較單一.而對于三角變換，

2、不僅要考慮三角函數(shù)是結(jié)構(gòu)方面的差異，還要考慮三角函數(shù)式所包含的角，以及這些角的三角函數(shù)種類方面的差異，它是一種立體的綜合性變換.從函數(shù)式結(jié)構(gòu)、函數(shù)種類、角與角之間的聯(lián)系等方面找一個(gè)切入點(diǎn)，并以此為依據(jù)選擇可以聯(lián)系它們的適當(dāng)公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化變形，是三角恒等變換的重要特點(diǎn).三維目標(biāo)1.通過經(jīng)歷二倍角的變形公式推導(dǎo)出半角的正弦、余弦和正切公式，能利用和與差的正弦、余弦公式推導(dǎo)出積化和差與和差化積公式,體會(huì)化歸、換元、方程、逆向使用公式等數(shù)學(xué)思想，提高學(xué)生的推理能力.2.理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并會(huì)利用公式進(jìn)行簡單的恒等變形,體會(huì)三角恒等變換在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用.3.通過例

3、題的解答，引導(dǎo)學(xué)生對變換對象目標(biāo)進(jìn)行對比、分析，促使學(xué)生形成對解題過程中如何選擇公式，如何根據(jù)問題的條件進(jìn)行公式變形，以及變換過程中體現(xiàn)的換元、逆向使用公式等數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)，從而加深理解變換思想，提高學(xué)生的推理能力.重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：1.半角公式、積化和差、和差化積公式的推導(dǎo)訓(xùn)練.2.三角變換的內(nèi)容、思路和方法,在與代數(shù)變換相比較中,體會(huì)三角變換的特點(diǎn).教學(xué)難點(diǎn)：認(rèn)識(shí)三角變換的特點(diǎn)，并能運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法指導(dǎo)變換過程的設(shè)計(jì)，不斷提高從整體上把握變換過程的能力.課時(shí)安排2課時(shí)教學(xué)過程第1課時(shí)導(dǎo)入新課思路1.我們知道變換是數(shù)學(xué)的重要工具，也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要對象之一，三角函數(shù)

4、主要有以下三個(gè)基本的恒等變換：代數(shù)變換、公式的逆向變換和多向變換以及引入輔助角的變換.前面已經(jīng)利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行了簡單的恒等變換，本節(jié)將綜合運(yùn)用和（差）角公式、倍角公式進(jìn)行更加豐富的三角恒等變換.思路2.三角函數(shù)的化簡、求值、證明，都離不開三角恒等變換.學(xué)習(xí)了和角公式，差角公式，倍角公式以后，我們就有了進(jìn)行三角變換的新工具，從而使三角變換的內(nèi)容、思路和方法更加豐富和靈活，同時(shí)也為培養(yǎng)和提高我們的推理、運(yùn)算、實(shí)踐能力提供了廣闊的空間和發(fā)展的平臺(tái).對于三角變換,由于不同的三角函數(shù)式不僅會(huì)有結(jié)構(gòu)形式方面的差異,而且還會(huì)有所包含的角,以及這些角的三角函數(shù)種類方面的差異,因此三角恒等

5、變換常常首先尋找式子所包含的各個(gè)角之間的聯(lián)系,并以此為依據(jù)選擇可以聯(lián)系它們的適當(dāng)公式,這是三角式恒等變換的重要特點(diǎn).推進(jìn)新課新知探究提出問題①α與有什么關(guān)系?②如何建立cosα與sin2之間的關(guān)系？③sin2=，cos2=，tan2=這三個(gè)式子有什么共同特點(diǎn)？④通過上面的三個(gè)問題，你能感覺到代數(shù)變換與三角變換有哪些不同嗎?⑤證明(1)sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)];(2)sinθ+sinφ=2sin.并觀察這兩個(gè)式子的左右兩邊在結(jié)構(gòu)形式上有何不同？活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想關(guān)于余弦的二倍角公式cosα=1-2sin2,將公式中的α用代替,解出sin2

6、即可.教師對學(xué)生的討論進(jìn)行提問，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)：α是的二倍角.在倍角公式cos2α=1-2sin2α中,以α代替2α,以代替α,即得cosα=1-2sin2,所以sin2=.①在倍角公式cos2α=2cos2α-1中,以α代替2α,以代替α,即得cosα=2cos2-1,所以cos2=.②將①②兩個(gè)等式的左右兩邊分別相除,即得tan2=.③教師引導(dǎo)學(xué)生觀察上面的①②③式，可讓學(xué)生總結(jié)出下列特點(diǎn)：(1)用單角的三角函數(shù)表示它們的一半即是半角的三角函數(shù);(2)由左式的“二次式”轉(zhuǎn)化為右式的“一次式”(即用此式可達(dá)到“降次”的目的).教師與學(xué)生一起總結(jié)出這樣的特點(diǎn),并告訴學(xué)生這些

7、特點(diǎn)在三角恒等變形中將經(jīng)常用到.提醒學(xué)生在以后的學(xué)習(xí)中引起注意.同時(shí)還要強(qiáng)調(diào),本例的結(jié)果還可表示為:sin=±,cos=±,tan=±,并稱之為半角公式(不要求記憶),符號(hào)由所在象限決定.教師引導(dǎo)學(xué)生通過這兩種變換共同討論歸納得出：對于三角變換,由于不同的三角函數(shù)式不僅會(huì)有結(jié)構(gòu)形式方面的差異，而且還有所包含的角，以及這些角的三角函數(shù)種類方面的差異.因此，三角恒等變換常常先尋找式子所包含的各個(gè)角間的聯(lián)系，并以此為依據(jù)，選擇可以聯(lián)系它們的適當(dāng)公式，這是三角恒等變換的重要特點(diǎn).代數(shù)式變換往往著眼于式子結(jié)構(gòu)形式的變換.對于問題⑤：（1