奧數(shù)：六級奧數(shù).數(shù)論.平方數(shù)奇偶性位值原理

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1、平方數(shù)、奇偶性、位值原理知識框架一、完全平方數(shù)常用性質1.特征1.完全平方數(shù)的尾數(shù)只能是0，1，4，5，6，9。不可能是2，3，7，8。2.在兩個連續(xù)正整數(shù)的平方數(shù)之間不存在完全平方數(shù)。3.完全平方數(shù)的約數(shù)個數(shù)是奇數(shù)，約數(shù)個數(shù)為奇數(shù)的自然數(shù)是完全平方數(shù)。4.若質數(shù)p整除完全平方數(shù)，則p能被整除。2.性質性質1：完全平方數(shù)的末位數(shù)字只可能是0，1，4，5，6，9．性質2：完全平方數(shù)被3，4，5，8，16除的余數(shù)一定是完全平方數(shù)．性質3：自然數(shù)N為完全平方數(shù)自然數(shù)N約數(shù)的個數(shù)為奇數(shù)．因為完全平方數(shù)的質因數(shù)分解中每個質因數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)都是偶數(shù)

2、次，所以，如果p是質數(shù)，n是自然數(shù)，N是完全平方數(shù)，且，則．性質4：完全平方數(shù)的個位是6它的十位是奇數(shù)．性質5：如果一個完全平方數(shù)的個位是0，則它后面連續(xù)的0的個數(shù)一定是偶數(shù)．如果一個完全平方數(shù)的個位是5，則其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中的一個．性質6：如果一個自然數(shù)介于兩個連續(xù)的完全平方數(shù)之間，則它不是完全平方數(shù)．3.一些重要的推論1.任何偶數(shù)的平方一定能被4整除；任何奇數(shù)的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的數(shù)一定不是完全平方數(shù)。2.一個完全平方數(shù)被3除的余數(shù)是0或1.即被3除余2的數(shù)一定不是完全平方數(shù)。3.自然

3、數(shù)的平方末兩位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。4.完全平方數(shù)個位數(shù)字是奇數(shù)（1，5，9）時，其十位上的數(shù)字必為偶數(shù)。5.完全平方數(shù)個位數(shù)字是偶數(shù)（0，4）時，其十位上的數(shù)字必為偶數(shù)。6.完全平方數(shù)的個位數(shù)字為6時，其十位數(shù)字必為奇數(shù)。7.凡個位數(shù)字是5但末兩位數(shù)字不是25的自然數(shù)不是完全平方數(shù)；末尾只有奇數(shù)個“0”的自然數(shù)不是完全平方數(shù)；個位數(shù)字為1，4，9而十位數(shù)字為奇數(shù)的自然數(shù)不是完全平方數(shù)。1.重點公式回顧：平方差公式：一、

4、奇數(shù)和偶數(shù)1.定義整數(shù)可以分成奇數(shù)和偶數(shù)兩大類.能被2整除的數(shù)叫做偶數(shù)，不能被2整除的數(shù)叫做奇數(shù)。通常偶數(shù)可以用2k（k為整數(shù)）表示，奇數(shù)則可以用2k+1（k為整數(shù)）表示。特別注意，因為0能被2整除，所以0是偶數(shù)。2.奇數(shù)與偶數(shù)的運算性質性質1：偶數(shù)±偶數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)±奇數(shù)=偶數(shù)性質2：偶數(shù)±奇數(shù)=奇數(shù)性質3：偶數(shù)個奇數(shù)的和或差是偶數(shù)性質4：奇數(shù)個奇數(shù)的和或差是奇數(shù)性質5：偶數(shù)×奇數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)×奇數(shù)=奇數(shù)，偶數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù)3.兩個實用的推論推論1：在加減法中偶數(shù)不改變運算結果奇偶性，奇數(shù)改變運算結果的奇偶性。推論2：對于任意2個整數(shù)

5、a,b,有a+b與a-b同奇或同偶二、位值原理當我們把物體同數(shù)相聯(lián)系的過程中，會碰到的數(shù)越來越大，如果這種聯(lián)系過程中，只用我們的手指頭，那么到了“十”這個數(shù)，我們就無法數(shù)下去了，即使象古代墨西哥尤里卡坦的瑪雅人把腳趾也用上，只不過能數(shù)二十。我們顯然知道，數(shù)是可以無窮無盡地寫下去的，因此，我們必須把數(shù)的概念從實物的世界中解放出來，抽象地研究如何表示它們，如何對它們進行運算。這就涉及到了記數(shù)，記數(shù)時，同一個數(shù)字由于所在位置的不同，表示的數(shù)值也不同。既是說，一個數(shù)字除了本身的值以外，還有一個“位置值”。例如，用符號555表示五百五十五時，這

6、三個數(shù)字具有相同的數(shù)值五，但由于位置不同，因此具有不同的位置值。最右邊的五表示五個一，最左邊的五表示五個百，中間的五表示五個十。但是在奧數(shù)中位值問題就遠遠沒有這么簡單了，現(xiàn)在就將解位值的三大法寶給同學們。希望同學們在做題中認真體會。a)位值原理的定義：同一個數(shù)字，由于它在所寫的數(shù)里的位置不同，所表示的數(shù)值也不同。也就是說，每一個數(shù)字除了有自身的一個值外，還有一個“位置值”。例如“2”,寫在個位上，就表示2個一，寫在百位上，就表示2個百，這種數(shù)字和數(shù)位結合起來表示數(shù)的原則，稱為寫數(shù)的位值原理。b)位值原理的表達形式：以六位數(shù)為例：a×1

7、00000+b×10000+c×1000+d×100+e×10+f。c)解位值一共有三大法寶：（1）最簡單的應用解數(shù)字謎的方法列豎式（2）利用十進制的展開形式，列等式解答（3）把整個數(shù)字整體的考慮設為x，列方程解答重難點本講知識點屬于數(shù)論大板塊內(nèi)的“定性分析”部分，小學生的數(shù)學思維模式大多為“純粹的定量計算，拿到一個題就先去試數(shù)，或者是找規(guī)律，在性質分析層面幾乎為0，本講力求實現(xiàn)的一個主要目標是提高孩子對數(shù)學的嚴密分析能力，培養(yǎng)孩子明白做題前有時要“先看能不能這么做，再去動手做”的思維模式。無論是小升初還是杯賽會經(jīng)常遇到，但不會單獨出

8、題，而是結合其他知識點來考察學生綜合能力。例題精講【例1】已知：1234567654321×49是一個完全平方數(shù)，求它是誰的平方?【鞏固】是的平方．【例1】1016與正整數(shù)a的乘積是一個完全平方數(shù)，則a的最小值是____