拉格朗日插值法牛頓插值法比較

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1、..拉格朗日插值法與牛頓插值法的比較[摘要]在生產(chǎn)和科研中出現(xiàn)的函數(shù)是多樣的。對于一些函數(shù)很難找出其解析表達(dá)式。即使在某些情況下，可以寫出函數(shù)的解析表達(dá)式，但由于解析表達(dá)式的結(jié)構(gòu)相當(dāng)復(fù)雜，使用起來很不方便。插值法即是解決此類問題的一種古老的、然而卻是目前常用的方法，它不僅直接廣泛地應(yīng)用于生產(chǎn)實際和科學(xué)研究中，而且也是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)值計算方法的基礎(chǔ)。拉格朗日插值法和牛頓插值法則是二種常用的簡便的插值法。本文即是討論拉格朗日插值法和牛頓插值法的理論及二者的比較。[關(guān)鍵詞]拉格朗日插值牛頓插值插值多項式比較一、背景在工程和科學(xué)研究中出現(xiàn)的函數(shù)

2、是多種多樣的。常常會遇到這樣的情況：在某個實際問題中，雖然可以斷定所考慮的函數(shù)在區(qū)間上存在且連續(xù)，但卻難以找到它的解析表達(dá)式，只能通過實驗和觀測得到在有限個點(diǎn)上的函數(shù)值（即一張函數(shù)表）。顯然，要利用這張函數(shù)表來分析函數(shù)的性態(tài)，甚至直接求出其他一些點(diǎn)上的函數(shù)值可能是非常困難的。面對這些情況，總希望根據(jù)所得函數(shù)表（或結(jié)構(gòu)復(fù)雜的解析表達(dá)式），構(gòu)造某個簡單函數(shù)作為的近似。這樣就有了插值法，插值法是解決此類問題目前常用的方法。如設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，且在個不同的點(diǎn)上分別取值。插值的目的就是要在一個性質(zhì)優(yōu)良、便于計算的函數(shù)類中，求一簡單函數(shù)，使而在

3、其他點(diǎn)上，作為的近似。通常，稱區(qū)間為插值區(qū)間，稱點(diǎn)為插值節(jié)點(diǎn)，稱式為插值條件，稱函數(shù)類為插值函數(shù)類，稱為函數(shù)在節(jié)點(diǎn)處的插值函數(shù)。求插值函數(shù)的方法稱為插值法。插值函數(shù)類的取法不同，所求得的插值函數(shù)逼近的效果就不同。它的選擇取決于使用上的需要，常用的有代數(shù)多項式、三角多項式和有理函數(shù)等。當(dāng)選用代數(shù)多項式作為插值函數(shù)時，相應(yīng)的插值問題就稱為多項式插值。本文討論的拉格朗日插值法與牛頓插值法就是這類插值問題。在多項式插值中，最常見、最基本的問題是：求一次數(shù)不超過的代數(shù)多項式使，其中，為實數(shù)。資料..拉格朗日插值法即是尋求函數(shù)（拉格朗日插值多項式

4、）近似的代替函數(shù)。相似的，牛頓插值法則是通過（牛頓插值多項式）近似的求得函數(shù)的值。二、理論基礎(chǔ)（一）拉格朗日插值法在求滿足插值條件次插值多項式之前，先考慮一個簡單的插值問題：對節(jié)點(diǎn)中任一點(diǎn)，作一n次多項式，使它在該點(diǎn)上取值為1，而在其余點(diǎn)上取值為零，即上式表明個點(diǎn)都是次多項式的零點(diǎn)，故可設(shè)其中，為待定系數(shù)。由條件立即可得故由上式可以寫出個次插值多項式。我們稱它們?yōu)樵趥€節(jié)點(diǎn)上的次基本插值多項式或次插值基函數(shù)。利用插值基函數(shù)立即可以寫出滿足插值條件的次插值多項式根據(jù)條件，容易驗證上面多項式在節(jié)點(diǎn)處的值為，因此，它就是待求的次插值多項式。形

5、如的插值多項式就是拉格朗日插值多項式，記為，即資料..作為常用的特例，令，由上式即得兩點(diǎn)插值公式，這是一個線性函數(shù)，故又名線性插值。若令，則又可得到常用的三點(diǎn)插值公式這是一個二次函數(shù)，故又名二次插值或拋物插值。（二）牛頓插值法由線性代數(shù)知，任何一個不高于次多項式，都可以表示成函數(shù)的線性組合。既可以吧滿足插值條件的次插值多項式寫成如下形式其中，為待定系數(shù)。這種形式的插值多項式稱為牛頓插值多項式，記為，即因此，牛頓插值多項式是插值多項式的另一種表示形式。設(shè)函數(shù)在等距節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值為已知，其中是正常數(shù)，稱步長。我們稱兩個相鄰點(diǎn)和處函數(shù)之差為

6、函數(shù)在點(diǎn)處以為步長的一階向前差分，記作，即于是，函數(shù)在各節(jié)點(diǎn)處的一階差分依次為又稱一階差分的差分為二階差分。一般的，定義函數(shù)在點(diǎn)處的階差分為。在等距節(jié)點(diǎn)情況下，可以利用差分表示牛頓插值多項式的系數(shù)。事實上，由插值條件可得；再由插值條件可得；一般的，由插值條件可得。資料..于是，滿足插值條件的插值多項式為三、二者的比較拉格朗日插值法與牛頓插值法都是二種常用的簡便的插值法。但牛頓法插值法則更為簡便，與拉格朗日插值多項式相比較，它不僅克服了“增加一個節(jié)點(diǎn)時整個計算工作必須重新開始”（見下面例題）的缺點(diǎn)，而且可以節(jié)省乘、除法運(yùn)算次數(shù)。同時，在

7、牛頓插值多項式中用到的差分與差商等概念，又與數(shù)值計算的其他方面有著密切的關(guān)系?，F(xiàn)用一實例比較拉格朗日插值法與牛頓插值法例已知函數(shù)表如下：x0.10.20.30.40.50.6sinx0.099830.198670.295520.389420.479430.56464計算sin(0.12)的值。利用拉格朗日插值法計算過程如下：（計算程序代碼見附件）因為0.12位于0.1與0.2之間，故取節(jié)點(diǎn)利用線性插值所求的近似值為計算結(jié)果如下圖利用拋物插值所求的近似值為資料..計算結(jié)果如下圖利用牛頓插值法計算過程如下：構(gòu)造差分表如下：xsinx0.1

8、0.20.30.40.099830.198670.295520.389420.098840.096850.09390-0.00199-0.00295-0.00096利用線性插值所求的近似值為利用拋物插值所求的近似值為從上