奇異值分解法計算廣義逆

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1、奇異值分解法計算廣義逆線性最小二乘問題的廣義逆求解(丁梁波整理)對于任意的方程組：其中如果，只要方陣非奇異，就有逆陣，從而得到解。然而，對于的一般情況，是長方陣，就沒有通常的逆陣。不過它仍然可以有相應于特定方程類型的幾種形式的廣義逆矩陣，其中適于任何情況的廣義逆叫做Penrose廣義逆，記為。于是，方程的解可以為：由奇異值分解（SVD）可以將分解為：其中U，V分別為m,n階正交陣這樣的廣義逆可表示為：其中這樣我們可以看出，完成的奇異值分解后，求解5的廣義逆就變得很簡單，從而可以方便地求出方程組的最小二乘解。下面我們說明對矩陣進行奇異值

2、分解的方法和步驟。通常情況下我們考慮m>n時矩陣的奇異值分解，因為當m

3、）式構造Householder矩陣Q2，左乘Q1AH2，得到Q2Q1AH2，并將計算Q2Q1將其存入Q1。4.取Q2Q1AH2的第2行為v，i=3，按（1）式構造Householder矩陣H3，右乘Q2Q1AH2，得到Q2Q1AH2H3，并將H2H3存入H2。5.依次類推，計算出QnQn-1…Q1AH2H3…Hn-1為雙對角矩陣，并將QnQn-1…Q1存入到Q1中，H2H3…Hn-1存入到H2中。QnQn-1…Q1AH2H3…Hn-1為雙對角矩陣記為：5需要注意的是：當時，只計算到Qn-1…Q1AH2H3…Hn-2二．用原點位移QR算

4、法進行迭代，計算所有的奇異值，并最終結合（一）計算出出U和V。1.按下式列旋轉矩陣H0（2）式中并將計算BH02.按下式構造列旋轉矩陣并計算Q1BH03.構造列旋轉矩陣并計算Q1BH0H1以及H0H154.構造列旋轉矩陣并計算Q2Q1BH0H1以及Q2Q15.按類似（3），（4）的方法構造列旋轉矩陣，并計算相應的新矩陣Qi…Q2Q1BH0H1…Hi-1,直到i=n，并記，，即6.判斷B1的次對角線元素是否在誤差范圍內(nèi)可以認為是0，若是則分解完畢，若否，則將B1作為上面的B重復步驟1，2，3，4，5，6。直到Bk可以近似看作是對角陣。即

5、：記，則Bk的對角線元素就是矩陣A的奇異值，即中的已經(jīng)求得，從上面的過程中我們可以將A按下面的式子進行分解：對比，，這樣我們就完成了矩陣A的奇異值分解，由于U和V都是正交陣，我們能夠得到A的廣義逆，從而可以根據(jù)下列公式計算方程組的最小二乘解：5程序說明：程序共有一個主程序MAIN.FOR和三個主要功能子程序：MAIN.FOR—主要功能有：方程組的初始化，輸出系數(shù)矩陣及其廣義逆、廣義逆法的最小二乘解以及逆的逆對方法進行驗證。BMUAV.FOR—程序的核心部分，奇異值分解程序，輸入系數(shù)矩陣，輸出分解后的U，V，AGMIV.FOR—計算廣

6、義逆以及方程組的最小二乘解BGINV.FOR—僅計算廣義逆另外還有一個奇異值分解的輔助小程序SSS.FOR5