第3課時(shí)空間向量與空間角

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1、第3課時(shí)　空間向量與空間角一、基礎(chǔ)過(guò)關(guān)1．若直線(xiàn)l的方向向量與平面α的法向量的夾角等于150°，則直線(xiàn)l與平面α所成的角等于(　　)A．30°B．60°C．150°D．以上均錯(cuò)2．直線(xiàn)l1，l2的方向向量分別是v1，v2，若v1與v2所成的角為θ，直線(xiàn)l1，l2所成的角為α，則(　　)A．α＝θB．α＝π－θC．cosθ＝

2、cosα

3、D．cosα＝

4、cosθ

5、3．已知A∈α，P?α，＝，平面α的一個(gè)法向量n＝，則直線(xiàn)PA與平面α所成的角為(　　)A．30°B．45°C．60°D．150°4．在正三棱柱A

6、BC—A1B1C1中，若AB＝BB1，則AB1與C1B所成角的大小為(　　)A．60°B．90°C．105°D．75°5.在正四面體ABCD中，點(diǎn)E為BC中點(diǎn)，點(diǎn)F為AD中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)AE與CF所成角的余弦值為(　　)A.B.C.D.6．若兩個(gè)平面α，β的法向量分別是n＝(1,0,1)，ν＝(－1,1,0)．則這兩個(gè)平面所成的銳二面角的度數(shù)是________．7．二面角的棱上有A、B兩點(diǎn)，直線(xiàn)AC、BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2，則該二面

7、角的大小為_(kāi)_______．8．在空間四邊形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，則cos〈，〉的值為_(kāi)_______．二、能力提升9.如圖，在三棱錐V—ABC中，頂點(diǎn)C在空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)處，頂點(diǎn)A、B、V分別在x、y、z軸上，D是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，且AC＝BC＝2，∠VDC＝θ.當(dāng)θ＝時(shí)，求異面直線(xiàn)AC與VD所成角的余弦值．10.如圖，已知點(diǎn)P在正方體ABCD—A′B′C′D′的對(duì)角線(xiàn)BD′上，∠PDA＝60°.(1)求DP與CC′所成角的大小；(2)求DP與平面AA′D′D所成角的大小．1

8、1.如圖，四棱錐F—ABCD的底面ABCD是菱形，其對(duì)角線(xiàn)AC＝2，BD＝.CF與平面ABCD垂直，CF＝2.求二面角B—AF—D的大?。?、探究與拓展12.如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，EF∥AB，EF⊥FB，AB＝2EF，∠BFC＝90°，BF＝FC，H為BC的中點(diǎn)．(1)求證：FH∥平面EDB；(2)求證：AC⊥平面EDB；(3)求二面角B－DE－C的大?。鸢?．B　2.D　3.C　4.B　5.C　6．60°　7.60°8．09．解　由于AC＝BC＝2，D是AB的中點(diǎn)，所

9、以C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，D(1,1,0)．當(dāng)θ＝時(shí)，在Rt△VCD中，CD＝，故V(0,0，)．所以＝(－2,0,0)，＝(1,1，－)．所以cos〈，〉＝＝＝－.所以異面直線(xiàn)AC與VD所成角的余弦值為.10.解　如圖，以D為原點(diǎn)，DA為單位長(zhǎng)建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz.則＝(1,0,0)，＝(0,0,1)．連接BD，B′D′.在平面BB′D′D中，延長(zhǎng)DP交B′D′于H.設(shè)＝(m，m,1)(m>0)，由已知〈，〉＝60°，由·＝

10、

11、

12、

13、cos〈，〉，可得2m＝.解得m＝

14、，所以＝.(1)因?yàn)閏os〈，〉＝＝，所以〈，〉＝45°，即DP與CC′所成的角為45°.(2)平面AA′D′D的一個(gè)法向量是＝(0,1,0)．因?yàn)閏os〈，〉＝＝，所以〈，〉＝60°.可得DP與平面AA′D′D所成的角為30°.11.解　過(guò)點(diǎn)A作AE⊥平面ABCD.以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)．于是B，D，F(xiàn)(0,2,2)．設(shè)平面ABF的法向量n1＝(x，y，z)，則由得令z＝1，得所以n1＝(－，－1,1)．同理，可求得平面ADF的法向量n2＝(，

15、－1,1)．由n1·n2＝0知，平面ABF與平面ADF垂直，所以二面角B—AF—D的大小等于.12．(1)證明　∵四邊形ABCD為正方形，∴AB⊥BC.又EF∥AB，∴EF⊥BC.又EF⊥FB，∴EF⊥平面BFC.∴EF⊥FH，∴AB⊥FH.又BF＝FC，H為BC的中點(diǎn)，∴FH⊥BC.∴FH⊥平面ABC.以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，為x軸正方向，為z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)BH＝1，則A(1，－2,0)，B(1,0,0)，C(－1,0,0)，D(－1，－2,0)，E(0，－1,1)，F(xiàn)(0,0,1

16、)．設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為G，連接GE，GH，則G(0，－1,0)，∴＝(0,0,1)．又＝(0,0,1)，∴∥.又GE?平面EDB，HF?平面EDB，∴FH∥平面EBD.(2)證明　＝(－2,2,0)，＝(0,0,1)，·＝0，∴AC⊥GE.又AC⊥BD，EG∩BD＝G，∴AC⊥平面EDB.(3)解　＝(－1，－1,1)，＝(－2，－2,0)．設(shè)平面BDE的法向量為n1＝(1，y1，z1)，則·n1＝－1－y1＋z1＝0，·n1＝－2－2y