高中的數(shù)學(xué)競賽平面幾何定理

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1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案平面幾何基礎(chǔ)知識(shí)（基本定理、基本性質(zhì)）1．勾股定理（畢達(dá)哥拉斯定理）（廣義勾股定理）(1)銳角對(duì)邊的平方，等于其他兩邊之平方和，減去這兩邊中的一邊和另一邊在這邊上的射影乘積的兩倍．　(2)鈍角對(duì)邊的平方等于其他兩邊的平方和，加上這兩邊中的一邊與另一邊在這邊上的射影乘積的兩倍．2．射影定理（歐幾里得定理）3．中線定理（巴布斯定理）設(shè)△ABC的邊BC的中點(diǎn)為P，則有；中線長：．4．垂線定理：．高線長：．5．角平分線定理：三角形一個(gè)角的平分線分對(duì)邊所成的兩條線段與這個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例．如△ABC中，AD平分∠BAC，則；（外角平分線定理）．角平分線長：（其中為周長一半）．6．正弦

2、定理：，（其中為三角形外接圓半徑）．7．余弦定理：．8．張角定理：．9．斯特瓦爾特(Stewart)定理：設(shè)已知△ABC及其底邊上B、C兩點(diǎn)間的一點(diǎn)D，則有AB2·DC+AC2·BD－AD2·BC＝BC·DC·BD．10．圓周角定理：同弧所對(duì)的圓周角相等，等于圓心角的一半．（圓外角如何轉(zhuǎn)化？）11．弦切角定理：弦切角等于夾弧所對(duì)的圓周角．12．圓冪定理：（相交弦定理：垂徑定理：切割線定理（割線定理）：切線長定理：）13．布拉美古塔（Brahmagupta）定理：在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，AC⊥BD，自對(duì)角線的交點(diǎn)P向一邊作垂線，其延長線必平分對(duì)邊．精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案1．點(diǎn)到圓的冪：設(shè)P

3、為⊙O所在平面上任意一點(diǎn)，PO=d，⊙O的半徑為r，則d2－r2就是點(diǎn)P對(duì)于⊙O的冪．過P任作一直線與⊙O交于點(diǎn)A、B，則PA·PB=

4、d2－r2

5、．“到兩圓等冪的點(diǎn)的軌跡是與此二圓的連心線垂直的一條直線，如果此二圓相交，則該軌跡是此二圓的公共弦所在直線”這個(gè)結(jié)論．這條直線稱為兩圓的“根軸”．三個(gè)圓兩兩的根軸如果不互相平行，則它們交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)稱為三圓的“根心”．三個(gè)圓的根心對(duì)于三個(gè)圓等冪．當(dāng)三個(gè)圓兩兩相交時(shí)，三條公共弦(就是兩兩的根軸)所在直線交于一點(diǎn)．2．托勒密（Ptolemy）定理：圓內(nèi)接四邊形對(duì)角線之積等于兩組對(duì)邊乘積之和，即AC·BD=AB·CD+AD·BC，(逆命題成立)．

6、（廣義托勒密定理）AB·CD+AD·BC≥AC·BD．3．蝴蝶定理：AB是⊙O的弦，M是其中點(diǎn)，弦CD、EF經(jīng)過點(diǎn)M，CF、DE交AB于P、Q，求證：MP=QM．4．費(fèi)馬點(diǎn)：定理1等邊三角形外接圓上一點(diǎn)，到該三角形較近兩頂點(diǎn)距離之和等于到另一頂點(diǎn)的距離；不在等邊三角形外接圓上的點(diǎn)，到該三角形兩頂點(diǎn)距離之和大于到另一點(diǎn)的距離．定理2三角形每一內(nèi)角都小于120°時(shí)，在三角形內(nèi)必存在一點(diǎn)，它對(duì)三條邊所張的角都是120°，該點(diǎn)到三頂點(diǎn)距離和達(dá)到最小，稱為“費(fèi)馬點(diǎn)”，當(dāng)三角形有一內(nèi)角不小于120°時(shí)，此角的頂點(diǎn)即為費(fèi)馬點(diǎn)．5．拿破侖三角形：在任意△ABC的外側(cè)，分別作等邊△ABD、△BCE、△CA

7、F，則AE、AB、CD三線共點(diǎn)，并且AE＝BF＝CD，這個(gè)命題稱為拿破侖定理．以△ABC的三條邊分別向外作等邊△ABD、△BCE、△CAF，它們的外接圓⊙C1、⊙A1、⊙B1的圓心構(gòu)成的△——外拿破侖的三角形，⊙C1、⊙A1、⊙B1三圓共點(diǎn)，外拿破侖三角形是一個(gè)等邊三角形；△ABC的三條邊分別向△ABC的內(nèi)側(cè)作等邊△ABD、△BCE、△CAF，它們的外接圓⊙C2、⊙A2、⊙B2的圓心構(gòu)成的△——內(nèi)拿破侖三角形，⊙C2、⊙A2、⊙B2三圓共點(diǎn)，內(nèi)拿破侖三角形也是一個(gè)等邊三角形．這兩個(gè)拿破侖三角形還具有相同的中心．6．九點(diǎn)圓（Ninepointround或歐拉圓或費(fèi)爾巴赫圓）：三角形中，三邊

8、中心、從各頂點(diǎn)向其對(duì)邊所引垂線的垂足，以及垂心與各頂點(diǎn)連線的中點(diǎn)，這九個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上，精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案九點(diǎn)圓具有許多有趣的性質(zhì),例如:（1）三角形的九點(diǎn)圓的半徑是三角形的外接圓半徑之半;（2）九點(diǎn)圓的圓心在歐拉線上,且恰為垂心與外心連線的中點(diǎn);（3）三角形的九點(diǎn)圓與三角形的內(nèi)切圓,三個(gè)旁切圓均相切〔費(fèi)爾巴哈定理〕．1．歐拉（Euler）線：三角形的外心、重心、九點(diǎn)圓圓心、垂心依次位于同一直線（歐拉線）上．2．歐拉（Euler）公式：設(shè)三角形的外接圓半徑為R，內(nèi)切圓半徑為r，外心與內(nèi)心的距離為d，則d2=R2－2Rr．3．銳角三角形的外接圓半徑與內(nèi)切圓半徑的和等于外心到各邊距離的和．

9、4．重心：三角形的三條中線交于一點(diǎn)，并且各中線被這個(gè)點(diǎn)分成2：1的兩部分；重心性質(zhì)：（1）設(shè)G為△ABC的重心，連結(jié)AG并延長交BC于D，則D為BC的中點(diǎn)，則；（2）設(shè)G為△ABC的重心，則；（3）設(shè)G為△ABC的重心，過G作DE∥BC交AB于D，交AC于E，過G作PF∥AC交AB于P，交BC于F，過G作HK∥AB交AC于K，交BC于H，則；（4）設(shè)G為△ABC的重心，則①；②；③（P為△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)）；④到三角形三頂點(diǎn)距離的平