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《高中的數(shù)學(xué)競賽平面幾何定理》由會(huì)員上傳分享,免費(fèi)在線閱讀,更多相關(guān)內(nèi)容在工程資料-天天文庫。
1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案平面幾何基礎(chǔ)知識(shí)(基本定理、基本性質(zhì))1.勾股定理(畢達(dá)哥拉斯定理)(廣義勾股定理)(1)銳角對(duì)邊的平方,等于其他兩邊之平方和,減去這兩邊中的一邊和另一邊在這邊上的射影乘積的兩倍. (2)鈍角對(duì)邊的平方等于其他兩邊的平方和,加上這兩邊中的一邊與另一邊在這邊上的射影乘積的兩倍.2.射影定理(歐幾里得定理)3.中線定理(巴布斯定理)設(shè)△ABC的邊BC的中點(diǎn)為P,則有;中線長:.4.垂線定理:.高線長:.5.角平分線定理:三角形一個(gè)角的平分線分對(duì)邊所成的兩條線段與這個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例.如△ABC中,AD平分∠BAC,則;(外角平分線定理).角平分線長:(其中為周長一半).6.正弦
2、定理:,(其中為三角形外接圓半徑).7.余弦定理:.8.張角定理:.9.斯特瓦爾特(Stewart)定理:設(shè)已知△ABC及其底邊上B、C兩點(diǎn)間的一點(diǎn)D,則有AB2·DC+AC2·BD-AD2·BC=BC·DC·BD.10.圓周角定理:同弧所對(duì)的圓周角相等,等于圓心角的一半.(圓外角如何轉(zhuǎn)化?)11.弦切角定理:弦切角等于夾弧所對(duì)的圓周角.12.圓冪定理:(相交弦定理:垂徑定理:切割線定理(割線定理):切線長定理:)13.布拉美古塔(Brahmagupta)定理:在圓內(nèi)接四邊形ABCD中,AC⊥BD,自對(duì)角線的交點(diǎn)P向一邊作垂線,其延長線必平分對(duì)邊.精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案1.點(diǎn)到圓的冪:設(shè)P
3、為⊙O所在平面上任意一點(diǎn),PO=d,⊙O的半徑為r,則d2-r2就是點(diǎn)P對(duì)于⊙O的冪.過P任作一直線與⊙O交于點(diǎn)A、B,則PA·PB=
4、d2-r2
5、.“到兩圓等冪的點(diǎn)的軌跡是與此二圓的連心線垂直的一條直線,如果此二圓相交,則該軌跡是此二圓的公共弦所在直線”這個(gè)結(jié)論.這條直線稱為兩圓的“根軸”.三個(gè)圓兩兩的根軸如果不互相平行,則它們交于一點(diǎn),這一點(diǎn)稱為三圓的“根心”.三個(gè)圓的根心對(duì)于三個(gè)圓等冪.當(dāng)三個(gè)圓兩兩相交時(shí),三條公共弦(就是兩兩的根軸)所在直線交于一點(diǎn).2.托勒密(Ptolemy)定理:圓內(nèi)接四邊形對(duì)角線之積等于兩組對(duì)邊乘積之和,即AC·BD=AB·CD+AD·BC,(逆命題成立).
6、(廣義托勒密定理)AB·CD+AD·BC≥AC·BD.3.蝴蝶定理:AB是⊙O的弦,M是其中點(diǎn),弦CD、EF經(jīng)過點(diǎn)M,CF、DE交AB于P、Q,求證:MP=QM.4.費(fèi)馬點(diǎn):定理1等邊三角形外接圓上一點(diǎn),到該三角形較近兩頂點(diǎn)距離之和等于到另一頂點(diǎn)的距離;不在等邊三角形外接圓上的點(diǎn),到該三角形兩頂點(diǎn)距離之和大于到另一點(diǎn)的距離.定理2三角形每一內(nèi)角都小于120°時(shí),在三角形內(nèi)必存在一點(diǎn),它對(duì)三條邊所張的角都是120°,該點(diǎn)到三頂點(diǎn)距離和達(dá)到最小,稱為“費(fèi)馬點(diǎn)”,當(dāng)三角形有一內(nèi)角不小于120°時(shí),此角的頂點(diǎn)即為費(fèi)馬點(diǎn).5.拿破侖三角形:在任意△ABC的外側(cè),分別作等邊△ABD、△BCE、△CA
7、F,則AE、AB、CD三線共點(diǎn),并且AE=BF=CD,這個(gè)命題稱為拿破侖定理.以△ABC的三條邊分別向外作等邊△ABD、△BCE、△CAF,它們的外接圓⊙C1、⊙A1、⊙B1的圓心構(gòu)成的△——外拿破侖的三角形,⊙C1、⊙A1、⊙B1三圓共點(diǎn),外拿破侖三角形是一個(gè)等邊三角形;△ABC的三條邊分別向△ABC的內(nèi)側(cè)作等邊△ABD、△BCE、△CAF,它們的外接圓⊙C2、⊙A2、⊙B2的圓心構(gòu)成的△——內(nèi)拿破侖三角形,⊙C2、⊙A2、⊙B2三圓共點(diǎn),內(nèi)拿破侖三角形也是一個(gè)等邊三角形.這兩個(gè)拿破侖三角形還具有相同的中心.6.九點(diǎn)圓(Ninepointround或歐拉圓或費(fèi)爾巴赫圓):三角形中,三邊
8、中心、從各頂點(diǎn)向其對(duì)邊所引垂線的垂足,以及垂心與各頂點(diǎn)連線的中點(diǎn),這九個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上,精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案九點(diǎn)圓具有許多有趣的性質(zhì),例如:(1)三角形的九點(diǎn)圓的半徑是三角形的外接圓半徑之半;(2)九點(diǎn)圓的圓心在歐拉線上,且恰為垂心與外心連線的中點(diǎn);(3)三角形的九點(diǎn)圓與三角形的內(nèi)切圓,三個(gè)旁切圓均相切〔費(fèi)爾巴哈定理〕.1.歐拉(Euler)線:三角形的外心、重心、九點(diǎn)圓圓心、垂心依次位于同一直線(歐拉線)上.2.歐拉(Euler)公式:設(shè)三角形的外接圓半徑為R,內(nèi)切圓半徑為r,外心與內(nèi)心的距離為d,則d2=R2-2Rr.3.銳角三角形的外接圓半徑與內(nèi)切圓半徑的和等于外心到各邊距離的和.
9、4.重心:三角形的三條中線交于一點(diǎn),并且各中線被這個(gè)點(diǎn)分成2:1的兩部分;重心性質(zhì):(1)設(shè)G為△ABC的重心,連結(jié)AG并延長交BC于D,則D為BC的中點(diǎn),則;(2)設(shè)G為△ABC的重心,則;(3)設(shè)G為△ABC的重心,過G作DE∥BC交AB于D,交AC于E,過G作PF∥AC交AB于P,交BC于F,過G作HK∥AB交AC于K,交BC于H,則;(4)設(shè)G為△ABC的重心,則①;②;③(P為△ABC內(nèi)任意一點(diǎn));④到三角形三頂點(diǎn)距離的平