直線地全參數(shù)方程及其的應(yīng)用舉例

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1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案直線的參數(shù)方程及應(yīng)用yh0hP0hP()Q問題1：（直線由點(diǎn)和方向確定）求經(jīng)過點(diǎn)P0()，傾斜角為的直線的參數(shù)方程.設(shè)點(diǎn)P()是直線上任意一點(diǎn)，（規(guī)定向上的方向?yàn)橹本€L的正方向）過點(diǎn)P作y軸的平行線，過P0作x軸的平行線，兩條直線相交于Q點(diǎn).1)當(dāng)與直線同方向或P0和P重合時(shí)，yh0hP()P0hQP0P＝

2、P0P

3、則P0Q＝P0PcosQP＝P0Psin2)當(dāng)與直線反方向時(shí)，P0P、P0Q、QP同時(shí)改變符號P0P＝－

4、P0P

5、P0Q＝P0PcosQP＝P0Psin仍成立設(shè)P0P＝t，

6、t為參數(shù)，又∵P0Q＝，＝tcosQP＝∴=tsin即是所求的直線的參數(shù)方程∵P0P＝t，t為參數(shù)，t的幾何意義是：有向直線上從已知點(diǎn)P0()到點(diǎn)P()的有向線段的數(shù)量，且

7、P0P

8、＝

9、t

10、①當(dāng)t>0時(shí)，點(diǎn)P在點(diǎn)P0的上方；②當(dāng)t＝0時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)P0重合；③當(dāng)t<0時(shí)，點(diǎn)P在點(diǎn)P0的下方；yh0hP0hP()特別地，若直線的傾斜角＝0時(shí)，直線的參數(shù)方程為④當(dāng)t>0時(shí)，點(diǎn)P在點(diǎn)P0的右側(cè)；⑤當(dāng)t＝0時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)P0重合；yh0hPP0h⑥當(dāng)t<0時(shí)，點(diǎn)P在點(diǎn)P0的左側(cè)；問題2：直線上的點(diǎn)與對應(yīng)的參數(shù)

11、t是不是一對應(yīng)關(guān)系？我們把直線看作是實(shí)數(shù)軸，以直線向上的方向?yàn)檎较?，以定點(diǎn)P0為原點(diǎn)，以原坐標(biāo)系的單位長為單位長，這樣參數(shù)t便和這條實(shí)數(shù)軸上的點(diǎn)P建立了一一對應(yīng)關(guān)系.問題3：P1、P2為直線上兩點(diǎn)所對應(yīng)的參數(shù)分別為t1、t2，則P1P2＝？，∣P1P2∣=？P1P2＝P1P0＋P0P2＝－t1＋t2＝t2－t1，∣P1P2∣=∣t2－t1∣精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案問題yh0hP1P0hP24：若P0為直線上兩點(diǎn)P1、P2的中點(diǎn)，P1、P2所對應(yīng)的參數(shù)分別為t1、t2，則t1、t2之間有何關(guān)系？根據(jù)直

12、線參數(shù)方程t的幾何意義，P1P＝t1，P2P＝t2，∵P0為直線上兩點(diǎn)P1、P2的中點(diǎn)，∴

13、P1P

14、＝

15、P2P

16、P1P＝－P2P，即t1＝－t2,t1t2<0一般地，若P1、P2、P3是直線上的點(diǎn)，所對應(yīng)的參數(shù)分別為t1、t2、t3，P3為P1、P2的中點(diǎn)則t3＝（∵P1P3＝－P2P3,根據(jù)直線參數(shù)方程t的幾何意義，∴P1P3=t3－t1,P2P3=t3－t2,∴t3－t1=－(t3－t2,)）總結(jié)：1、直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)式(1)過點(diǎn)P0()，傾斜角為的直線的參數(shù)方程是（t為參數(shù)）t的幾何意義：

17、t表示有向線段的數(shù)量，P()P0P=t∣P0P∣=t為直線上任意一點(diǎn).(2)若P1、P2是直線上兩點(diǎn)，所對應(yīng)的參數(shù)分別為t1、t2，則P1P2=t2－t1∣P1P2∣=∣t2－t1∣(3)若P1、P2、P3是直線上的點(diǎn)，所對應(yīng)的參數(shù)分別為t1、t2、t3則P1P2中點(diǎn)P3的參數(shù)為t3＝,∣P0P3∣=(4)若P0為P1P2的中點(diǎn)，則t1＋t2＝0，t1·t2<02、直線參數(shù)方程的一般式過點(diǎn)P0()，斜率為的直線的參數(shù)方程是（t為參數(shù)）例題：1、參數(shù)方程與普通方程的互化例1：化直線的普通方程＝0為參

18、數(shù)方程，并說明參數(shù)的幾何意義,說明∣t∣的幾何意義.解：令y=0,得＝1，∴直線過定點(diǎn)(1,0).k＝－=－精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案設(shè)傾斜角為，tg=－,=,cos=－,sin=的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）t是直線上定點(diǎn)M0（1，0）到t對應(yīng)的點(diǎn)M()的有向線段的數(shù)量.由(1)、(2)兩式平方相加,得∣t∣＝∣t∣是定點(diǎn)M0（1，0）到t對應(yīng)的點(diǎn)M()的有向線段的長.點(diǎn)撥：求直線的參數(shù)方程先確定定點(diǎn)，再求傾斜角,注意參數(shù)的幾何意義.例2：化直線的參數(shù)方程（t為參數(shù)）為普通方程，并求傾斜角，說明∣t∣的幾何

19、意義.解：原方程組變形為(1)代入(2)消去參數(shù)t，得(點(diǎn)斜式)可見k=,tg=,傾斜角=普通方程為(1)、(2)兩式平方相加,得∴∣t∣=∣t∣是定點(diǎn)M0（3，1）到t對應(yīng)的點(diǎn)M()的有向線段的長的一半.點(diǎn)撥：注意在例1、例2中，參數(shù)t的幾何意義是不同的，直線的參數(shù)方程為即是直線方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，(-)2+()2=1,t的幾何意義是有向線段的數(shù)量.直線的參數(shù)方程為是非標(biāo)準(zhǔn)的形式，12＋()2=4≠1，此時(shí)t的幾何意義是有向線段的數(shù)量的一半.你會(huì)區(qū)分直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式嗎？例3：已知直線過點(diǎn)M0（

20、1，3），傾斜角為，判斷方程（t為參數(shù)）和方程（t為參數(shù)）是否為直線的參數(shù)方程？如果是直線精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案的參數(shù)方程，指出方程中的參數(shù)t是否具有標(biāo)準(zhǔn)形式中參數(shù)t的幾何意義.解：由于以上兩個(gè)參數(shù)方程消去參數(shù)后，均可以得到直線的的普通方程，所以，以上兩個(gè)方程都是直線的參數(shù)方程，其中cos=,sin=，是標(biāo)準(zhǔn)形式，參數(shù)t是有向線段的數(shù)量.，而方程是非標(biāo)準(zhǔn)形式，參數(shù)t不具有上述的幾何意義.點(diǎn)撥：直線的參數(shù)方程不唯一，對于給定的參數(shù)方程能辨別其標(biāo)準(zhǔn)形式，會(huì)利用參數(shù)t的幾何意義解決有關(guān)問題