等價(jià)無窮小量在求函數(shù)極限中的應(yīng)用 數(shù)學(xué)畢業(yè)論文

《等價(jià)無窮小量在求函數(shù)極限中的應(yīng)用 數(shù)學(xué)畢業(yè)論文》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在學(xué)術(shù)論文-天天文庫。

1、等價(jià)無窮小量在求函數(shù)極限中的應(yīng)用摘要主要討論了等價(jià)無窮小量在求積商、和差及冪指結(jié)構(gòu)函數(shù)極限中的應(yīng)用,并通過一些具體的例題體現(xiàn)了無窮小量替換在求極限中的靈活性、多樣性和重要性.關(guān)鍵詞等價(jià)無窮小量;積商結(jié)構(gòu);和差結(jié)構(gòu);冪指結(jié)構(gòu);極限;應(yīng)用1等價(jià)無窮小量在求積商結(jié)構(gòu)函數(shù)的極限中的應(yīng)用1.1等價(jià)無窮小定義及重要結(jié)論定義1.1.1若則稱為時(shí)的無窮小量.定義1.1.2若則稱與是當(dāng)時(shí)的等價(jià)無窮小.記作.應(yīng)用等價(jià)無窮小代換,必須記住一些基本的等價(jià)無窮小量,如時(shí),,等.定理1.1.1設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義,且有若存在,則.證明.定理1.1.2設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義,且有若存在,

2、則.證明.由定理1.1.1和定理1.1.2,可以得到以下一個(gè)重要的結(jié)論,它在求積和商的極限中有很重要的作用,需加強(qiáng)對(duì)它的理解.結(jié)論1.1.1設(shè)為時(shí)的無窮小量,若11存在,則.證明.從結(jié)論1.1.1容易看出,當(dāng)時(shí),結(jié)論就是上面定理1.1.1的情形;當(dāng)去掉分子并略去相關(guān)條件,結(jié)論1.1.1就是定理1.1.2的情形,即兩定理是結(jié)論的特殊情況,需要要很好的理解上面的結(jié)論.1.2定理和結(jié)論的應(yīng)用舉例例1.2.1求.解由于.故由定理1.1.2得.例1.2.2利用等價(jià)無窮小量求極限.解由于這個(gè)極限的分子不滿足上面定理和結(jié)論的要求,需要我們對(duì)它進(jìn)行轉(zhuǎn)化,使之成為定

3、理和結(jié)論需要的形式,容易看出,而故有.說明這道題是結(jié)論1.1.1的應(yīng)用,應(yīng)注意的是,在利用等價(jià)無窮小量代換求極限時(shí),要注意所求極限的形式與上面所給定理和結(jié)論是否相對(duì)應(yīng),不滿足時(shí)不能隨意替換,需要適當(dāng)?shù)淖冃?變成我們需要的形式,如剛才這個(gè)極限的分子就不與上面的結(jié)論要求相對(duì)應(yīng),需要上面的適當(dāng)?shù)淖冃?例1.2.3求極限.11解由于由結(jié)論1.1.1得.說明這道例題與例1.1.2類似,雖然形式比較復(fù)雜,但只要嚴(yán)格按照上面的結(jié)論就可以迎刃而解了.2等價(jià)無窮小量在求和差結(jié)構(gòu)函數(shù)的極限中的應(yīng)用2.1重要定理及其結(jié)論課本中一般強(qiáng)調(diào)等價(jià)無窮小代換法則只在乘除的情況下可

4、以使用,在加減的情況下不能隨意使用,那么究竟在什么樣的情況下加減的形式可以使用呢?現(xiàn)在來著重介紹一下,下面先來看和的情形.定理2.1.1設(shè)為時(shí)的無窮小量,且,則.證明當(dāng)時(shí),因?yàn)?知,且所以.當(dāng)時(shí),有已知條件知,所以故.11定理2.1.1表明,在計(jì)算與兩個(gè)無窮小量的代數(shù)和有關(guān)的極限運(yùn)算時(shí),若其為同階無窮小且兩者商的極限不為時(shí),則可用與其等價(jià)的無窮小量分別替換,將是運(yùn)算過程更為簡潔.對(duì)于差結(jié)構(gòu)函數(shù)的極限類似得如下定理定理2.1.2設(shè)為時(shí)的無窮小量,且則.定理2.1.2表明,在計(jì)算與兩個(gè)無窮小量的差有關(guān)的極限運(yùn)算時(shí),若其為同階無窮小且兩者商的極限不為時(shí),

5、則可用與其等價(jià)的無窮小量分別替換,將是運(yùn)算過程更為簡潔.定理2.1.1和定理2.1.2解決了等價(jià)無窮小量在求和差結(jié)構(gòu)函數(shù)的極限中的應(yīng)用,下面對(duì)定理2.1.1和定理2.1.2推廣可得到如下一些結(jié)論.結(jié)論2.1.1設(shè)為時(shí)的無窮小量,且若或存在,則或證明由所給條件知,再由結(jié)論1.1.1可直接得.結(jié)論2.1.2設(shè),,為時(shí)的無窮小量,且為常數(shù),若存在,則.11證明由知從而即.同理.所以.結(jié)論2.1.2的得到增強(qiáng)了定理的應(yīng)用范圍,使其應(yīng)用更加廣泛,進(jìn)一步體現(xiàn)了等價(jià)無窮小代換的廣泛性與靈活性,暗示我們對(duì)于一些復(fù)雜的極限可以通過等價(jià)無窮小代換使之簡潔而有效.2.2

6、定理和結(jié)論的應(yīng)用舉例例2.2.1求極限.解由于當(dāng)時(shí),,,并且.故當(dāng)時(shí),.又由于當(dāng)時(shí),,并且.故當(dāng)時(shí),由結(jié)論2.1.2得.說明這道題是對(duì)定理和結(jié)論的直接應(yīng)用,對(duì)于既有積商,又有和差的極限,首先判斷其是否符合和差形式的條件,然后在應(yīng)用上面推廣的結(jié)論,這樣做顯然比直接利用洛必達(dá)簡單些,在求極限中,往往我們先利用等價(jià)無窮小代換,再利用洛比達(dá)會(huì)起到事半功倍的效果.11例2.2.2求極限為常數(shù).解因?yàn)楫?dāng)時(shí),所以由結(jié)論2.1.1有.例2.2.3求極限.解當(dāng)時(shí),,并且.故當(dāng)時(shí),.又當(dāng)時(shí),并且.故當(dāng)時(shí),.所以由結(jié)論2.1.2有=.說明例2.2.3跟例2.2.1一樣,

7、只要嚴(yán)格遵守上面推廣的結(jié)論就可以很快得到結(jié)果,其解法既快捷又簡便,很好的體現(xiàn)了利用等價(jià)無窮小代換求極限的優(yōu)越性.總之,有上述的幾個(gè)例子可以發(fā)現(xiàn),對(duì)于某些函數(shù)極限的計(jì)算利用等價(jià)無窮小替換比洛比達(dá)法則簡單易行,可起到事半功倍的效果,必要的時(shí)候兩種方法可以同時(shí)進(jìn)行.3等價(jià)無窮小量在求冪指結(jié)構(gòu)(未定式、、)函數(shù)的極限中的應(yīng)用3.1重要定理及其結(jié)論本節(jié)主要介紹等價(jià)無窮小量了冪指結(jié)構(gòu)函數(shù)極限中的應(yīng)用,在冪指結(jié)構(gòu)函數(shù)極限中利用等價(jià)無窮小代換可以適當(dāng)?shù)陌逊爆嵉氖阶舆M(jìn)行化簡,11從而有利于我們更快更好的解決這一類極限,下面我們先從引理入手.引理3.1.1設(shè)和在有定義

8、,為時(shí)的無窮小量,且則有.證明由條件知,且所以.引理3.1.2設(shè)和在有定義,為時(shí)的無窮小量,且則.證明因?yàn)?,又因?yàn)?所以