空間閉折線所圍的極小網(wǎng)格曲面設(shè)計論文

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1、浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系碩士學(xué)位論文空間閉折線所圍的極小網(wǎng)格曲面設(shè)計姓名：馮敬真申請學(xué)位級別：碩士專業(yè)：應(yīng)用數(shù)學(xué)指導(dǎo)教師：王國瑾20080501摘要本文首先簡要地回顧了極小曲面Plateau問題的產(chǎn)生和沿革，綜述了目前在CAGD領(lǐng)域內(nèi)研究B6zier極小曲面造型和B樣條極小曲面造型的主要方法、意義與局限性，進(jìn)一步指出了研究空問閉折線所圍的極小網(wǎng)格曲面造型的必要性和合理性．在介紹一般對于Plateau．B6zier問題的Dirichlet解曲面的思想、方法，回顧插值已知型值點的口-B．spline曲線曲面的構(gòu)

2、造方法及性質(zhì)之后，本文對空間閉折線所圍的極小網(wǎng)格曲面造型的一般提法、理論機(jī)理進(jìn)行了研討，并提出基于Plateau-B-spline問題的Dirichlet解曲面思想，從幾何逼近論的角度，給出了實現(xiàn)空問閉折線所圍的極小網(wǎng)格曲面造型的一個設(shè)計思路，最終給出了基于雙3次B-spline的極小網(wǎng)格曲面的一整套算法，并用幾個實例對新理論與新算法進(jìn)行了驗證．本文的主要貢獻(xiàn)與創(chuàng)新點可概括為以下幾點：1．在CAGD領(lǐng)域內(nèi)首次提出了空問閉折線所圍的極小網(wǎng)格曲面造型問題并進(jìn)行了成功的嘗試．這將對建筑、機(jī)械等工程實際產(chǎn)

3、生深遠(yuǎn)影響．2．提出了將Dirichlet能量函數(shù)方法推廣到雙3次B樣條曲面的思想，并以此為基礎(chǔ)導(dǎo)出空間閉折線所圍的極小網(wǎng)格曲面一個解的研究途徑，作為用Dirichlet能量函數(shù)方法研究極小網(wǎng)格曲面問題的重要理論基礎(chǔ)．詳細(xì)推導(dǎo)了三角曲面片微元與插值頂點的相應(yīng)三角平面片微元的面積差與該三角曲面參數(shù)域及控制頂點之間的關(guān)系，并證明了當(dāng)參數(shù)域面積微元趨于0時，可通過選擇合適的形狀因子Og，使得上述兩面積微元之差的極限也是0．進(jìn)而證明了當(dāng)在曲面內(nèi)部取點個數(shù)趨于無窮時，得到的三角網(wǎng)格總面積趨于Plateau—

4、B—spline意義之下的Dirichlet極小曲面的面積．3．探索了將Dirichlet能量函數(shù)方法推廣到離散極小曲面即極小網(wǎng)格曲面研究領(lǐng)域的一種具體算法．其基本思想是借助于廣義逆矩陣求解超定線性方程組的方法，以及具有可調(diào)因子的非均勻a．B樣條曲面轉(zhuǎn)化到均勻B樣條曲面的方法．并把該方法引入到基于B樣條的極小網(wǎng)格曲面造型中，從而將連續(xù)的Dirichlet能量函數(shù)極小化問題，轉(zhuǎn)化為～個離散形式的目標(biāo)函數(shù)的極小化問題．全文的理論結(jié)果與數(shù)值實驗表明，本研究的探索是成功的．浙江大學(xué)碩士學(xué)位論文關(guān)鍵詞：極小

5、曲面，Plateau-B．spfine問題，Dirichlet能量函數(shù)，3次口一B樣條曲線，均勻三角剖分ABSTRACTTobeginwith．webrieflyretrospectthebirthandtheevolutionoftheminimalsurfaceproblem(PlateauProblem)，andwecomprehensivelyintroduceSOftieimportantmethods，usefulsignifieances，andessentiallindration

6、sofrecentresearchesonB6zierminimalsurfacemodelingandB-splineminimalsurfacemodelinginthefieldofCAGD．Furthermore．wepointoutthatitisnecessaryandreasonableforUStOstudydesignofminimalmeshsurfacesurroundedgivenspatialclosedbrokenline．Andthenweintroducethege

7、neralideaandthespecificDirichletapproachoftheplateau-B6zierproblem．Wealsoretrospectthemodelingandpropertyofthecubic口-13-splinecurvethatinterpolatesgivendata．Afterwards，weexpandaseriesofin-depthdiscussionsandresearchesOiltheminimalmeshsurfacemodelingsu

8、rroundedgivenspacialclosedbrokenline，includingitsgeneralstatement．itstheoreticalmechanism．a(chǎn)lsobringforwardtheideaofusingtheDirichletsolutionofthePlateau一出叩lineproblem．Then，wegetthedesignoftheminimalmeshsurfacemodelingfromtheviewofgeometryappro