laplace方程的小波近擬解

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1、北京工業(yè)大學(xué)理學(xué)碩士學(xué)位論文來(lái)求解偏微分方程【14卜【3引．近年來(lái)，二維Laplace方程的Cauchy問(wèn)題受到了很多研究者的關(guān)注[13】，【30卜【371．在許多物理學(xué)問(wèn)題中，諸如尋求礦產(chǎn)資源，需要在遠(yuǎn)離礦產(chǎn)資源的地球表面研究重力位勢(shì)，這就相當(dāng)于建立如下二維Laplace方程的Cauchy問(wèn)題．0

2、=可∈J，訴I．．雩挈，可“(勿)!’占一’寐I．是方程(1-1)的解，其中，是實(shí)直線上的一個(gè)閉區(qū)間．我們注意到，當(dāng)佗趨于無(wú)窮時(shí)，邊界條件鯫(掣)一致收斂于零，但容易驗(yàn)證牡。(z，∥)卻不一致收斂于零．利用小波來(lái)研究上述方程，已有部分研究，在文【13】中，研究了此問(wèn)題，主要結(jié)果為：0，=們嘰=@吼塑妒刊肛+們毗氣乒㈣當(dāng)一鞏一如則拋一如可一魚(yú)艫∞一，C—O型詎萬(wàn)亟∞∑舢q第1章緒論定理1．1令蠆是測(cè)量邊界條件且滿足№一列Lz≤E，如果歹=歹(￡)使得以cosh％+2≤％，并且當(dāng)E呻。時(shí)有J(￡)一。o，則對(duì)o

3、u(”)怯=o，其中，％是對(duì)應(yīng)于測(cè)量邊界條件蠆方程(1—1)的小波正則解，讓是對(duì)應(yīng)于邊界條件夕的方程(1．1)的解，q+2：娑2J是與J有關(guān)的常數(shù)，尬為常數(shù)．文[30]中，利用Fourier變換和小波方法研究了Laplace方程的cauchy問(wèn)題，主要結(jié)果為：定理1．2存在5≥7'，使得IIu(1，可)lIⅣ，≤E成立，當(dāng)r≤min_[o，s)時(shí)，若№一列礦≤6，其中日7為Sobolev空間，范數(shù)定義為：盯嶺(加釧2(-刪飚)5，穴∈)是，的Founer變換，若J：=[-og：(2(·n(詈(·n魯)_2cPr，)))]，其中[a

4、]是取整函數(shù)，則II正9一B，．，‰II護(hù)≤

5、解，并研究所構(gòu)造小波解和精確解之間的L2收斂和點(diǎn)態(tài)收斂．1．2預(yù)備知識(shí)對(duì)任意給定的，∈工1(R)，其Fourier變換定義為硇=去上m)e叫‰，甜(母由于三1(R)nL2(R)在L2(兄)中稠密，我們可以將Fourier變換的概念拓廣到L2(R)中【391．1．多分辨率分析(MRA)多分辨率分析?是構(gòu)造性質(zhì)良好小波的—個(gè)重要工具．平方可積函數(shù)空間L2(R)中的一列線性閉子空間(巧)J∈z稱為一個(gè)多分辨率分析，如果滿足下面條件：(a)?c億1c％cⅥC?；．(b)nJEzK={o)；(c)嘶=L2(兄)；(d)，(z)∈％錚，(2J

6、z)∈巧，J∈z；(e)存在咖(z)∈％使得{咖(z一七))七∈z為％的標(biāo)準(zhǔn)正交基，其中礦(z)稱為此多分辨率分析對(duì)應(yīng)的尺度函數(shù)．從上述定義可知：K=面五麗∈z，．【咖奄(z)=2{≯(2Jz一后)，七∈z)構(gòu)成巧的標(biāo)準(zhǔn)正交基．從多尺度分析對(duì)應(yīng)的尺度函數(shù)≯(z)出發(fā)，我們可以按照下面的方式構(gòu)造出小波函數(shù)：．缸第1章緒論設(shè){K}J∈z是由尺度函數(shù)咖(z)生成的MRA，{夕(尼))七∈z=．[<咖，≯。七>)％∈z是尺度序列，定義小波序列^(尼)=(一1)2頁(yè)兩，及小波函數(shù)妒(z)=∑≈^(七)咖-k(z)，若固定歹，則奶七(z)=2

7、§妒(2Jz一七)，七∈z為叱的正交基，其中％為K在巧+-中的正交補(bǔ)(嵋+z=巧0％)．可以證明，(奶☆)舭∈z為L(zhǎng)2(冗)的標(biāo)準(zhǔn)正交基．2．shannon小波及其性質(zhì)shann。n小波的尺度函數(shù)≯(z)=警對(duì)應(yīng)的Fourier變換為：硇=p謄容易看出咖k(∈)砂(∈)嗚七(∈)7r≤Ifl≤27r其它．Pe叫糾侖一’≯2J+1死進(jìn)一步，如下三點(diǎn)性質(zhì)成立：上面q，I●I●I，、●●【丌<一苣㈧其《上歷吼北京工業(yè)大學(xué)理學(xué)碩士學(xué)位論文(1)supp咖七(∈)={∈：lfI≤7r2’)，七∈zsupp歷七(∈)={∈：7r2’≤l引≤丌

8、2J+1)，七∈z．設(shè)弓；Q分別表示從L2(R)到K，％的正交投影算子，即V．廠∈L2(冗)，B，(y)=∑(，，咖七)向t(夕)，七∈Z鋤砌)=∑(，，咖七)奶t(可)，七∈Z則由性質(zhì)(1)可以看出，弓為一低通濾波器，它可濾掉頻率大于丌分的部分．