一類hamilton系統(tǒng)在多項(xiàng)式擾動(dòng)下極限環(huán)的個(gè)數(shù)

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1、第一章前言§1．1研究現(xiàn)狀1900年，D．Hilbert【1l在第二屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上提出了23個(gè)數(shù)學(xué)問題，其中第16個(gè)問題的后半部分是：對(duì)于平面n次多項(xiàng)式系統(tǒng)忙F(z，y)G(z，可)其中F，G為關(guān)于z，可的幾次多項(xiàng)式，問：它的極限環(huán)個(gè)數(shù)的最小上界日(n)是多少?可能出現(xiàn)的極限環(huán)相對(duì)位置如何?經(jīng)過Il’yalshenko【21和Ecalle【3】修補(bǔ)證明后的Dulac【4】有限性定理指出：一個(gè)給定的扎次多項(xiàng)式系統(tǒng)的極限環(huán)個(gè)數(shù)是有限的．但是，對(duì)全體佗次多項(xiàng)式系統(tǒng)而言，其極限環(huán)個(gè)數(shù)的一致上界是否有限、如何估計(jì)，即使對(duì)n=2這種最簡(jiǎn)單的非線性情形，仍是一個(gè)沒有解決的

2、問題．目前，一些數(shù)學(xué)工作者已探索出日∞)至少是隨n以n2的速度增長(zhǎng)的【5一．Hilbert第16問題仍是平面多項(xiàng)式微分系統(tǒng)定性理論中最困難的問題之一．S．Smale吲已將Hnbert第16問題列入21世紀(jì)有待解決的數(shù)學(xué)問題之中．由于第16問題的難度之大，數(shù)學(xué)工作者開始從較簡(jiǎn)單的情形入手研究，考慮平面H鋤ilton系統(tǒng)的擾動(dòng)向量場(chǎng)譬篡?(1．1．1)E其中o≤s《1為小參數(shù)，日，P，Q為多項(xiàng)式，de9日≤m，maX

3、，11<^<九2)1其中日=^1和日=危2分別對(duì)應(yīng)系統(tǒng)(1．1．1)。：o的中心奇點(diǎn)和奇異閉軌．于是，系統(tǒng)(1．1．1)。的極限環(huán)只可能分別來自于t(1)奇點(diǎn)H=九1附近的Hopf分支(2)奇異閉軌日=九2附近的奇異閉軌分支(奇異閉軌的環(huán)性)(3)閉軌n(危1<^<^2)附近的Poincarg分支對(duì)于Hopf分支的討論，應(yīng)用Hopf分支定理【8】，可將問題歸結(jié)為奇點(diǎn)焦點(diǎn)量的計(jì)算，而奇點(diǎn)焦點(diǎn)量的計(jì)算已經(jīng)有了很成熟的計(jì)算方法【9】．關(guān)于Poincar百分支的討論，定義系統(tǒng)(1．1．1)。的Mel7nikov函數(shù)^矗(九)=乒Q(z，秒)dz一尸(z，!，)d3，，^

4、1<^<^2Jrh當(dāng)￡充分小時(shí)，系統(tǒng)(1．1．1)。的Poincar∈分支的極限環(huán)個(gè)數(shù)上確界B(m，n)不大于尬(九)的孤立零點(diǎn)個(gè)數(shù)(計(jì)重?cái)?shù))的上確界z(m，佗)．1983年，V．I．Arnold【10】首先提出尋求尬(^)函數(shù)的孤立零點(diǎn)個(gè)數(shù)的上確界問題，并稱之為弱Hilbert第16問題．大部分關(guān)于PoincaLr芭分支的文章是對(duì)較具體的Hamilton系統(tǒng)的多項(xiàng)式擾動(dòng)系統(tǒng)的Mel7nikov函數(shù)孤立零點(diǎn)個(gè)數(shù)的上界或上確界的估計(jì)【1l一151．奇異閉軌分支分為同宿分支和異宿分支，研究奇異閉軌環(huán)性的主要方法是尋求奇異閉軌附近的后繼映射的形式，對(duì)于可積系統(tǒng)，一種重

5、要的方法是Mel7nikov函數(shù)法．考慮一般系統(tǒng){三，(z，y)+￡如(z，可，E，6)三，(z，∥，￡，6)9(z，耖)+￡夕0(z，y，E，6)三雪(z，穢，E，6)(1．1．2)￡其中0≤g《l為小參數(shù)，6∈Dc艫，n≥l，D有界，設(shè)當(dāng)E=0時(shí)，(1．1．2)。：o有一個(gè)以雙曲鞍點(diǎn)為極限點(diǎn)的同宿軌厶關(guān)于同宿分支最重要的結(jié)果是R，ousSarie定理【16

6、，它證明了：2時(shí)系統(tǒng)在佗次多項(xiàng)式擾動(dòng)下分支出極限環(huán)個(gè)數(shù)的上界為【孚】+【孚】+1，當(dāng)佗≥7時(shí)分支出極限環(huán)個(gè)數(shù)的上界為【孚】+【孚】+孚】；(y，)若系統(tǒng)的Hamilton函數(shù)為日=z一3(y2—222+z

7、)，則當(dāng)竹=0時(shí)系統(tǒng)在n次多項(xiàng)式擾動(dòng)下分支出極限環(huán)個(gè)數(shù)的上界為n+3，當(dāng)n=1，3時(shí)分支出極限環(huán)個(gè)數(shù)的上界為他+2，當(dāng)n=2時(shí)分支出極限環(huán)個(gè)數(shù)的上界為n+1，當(dāng)n≥4時(shí)分支出極限環(huán)個(gè)數(shù)的上界為2n一3．(4)對(duì)于非Hamilton系統(tǒng)有時(shí)我們可將Mel7nikov函數(shù)表示為第一、第二型完全橢圓積分的線性組合，然后用羅爾定理來估計(jì)極限環(huán)個(gè)數(shù)，方法詳見邵儀和趙育林教授的論文【20l●(5)對(duì)于尬(^)=n(^)如(^)+6(^)J1(九)+c(^)厶(危)的形式，其中n(^)，6(^)，c(危)是關(guān)于^的多項(xiàng)式，可先找出而(九)、厶(危)和j12(^)三個(gè)生成元之間

8、的關(guān)系，借助Picard-F、uchs方程和求二階導(dǎo)數(shù)的方法將三個(gè)生成元化為兩個(gè)生成元，然后再用羅爾定理來估計(jì)極限環(huán)的個(gè)數(shù)．§1．3本文的主要工作趙育林教授博士論文【18】中的一部分是利用廣義R，011e中值定理證明了至少有一個(gè)中心的形如日(z，剪)={秒2+U@)(u(z)是四次多項(xiàng)式)的H鋤ilton向量場(chǎng)在佗次擾動(dòng)下Mel7nikov函數(shù)的孤立零點(diǎn)個(gè)數(shù)B(禮)≤7佗+5，本文研究的是它其中的一個(gè)特例，利用Petrov的復(fù)域方法研究具有雙同宿軌的H鋤ilton向量場(chǎng)H(z，秒)=；!／2一；z2+{一在n次擾動(dòng)下Mel7nikov函數(shù)的孤立零點(diǎn)個(gè)數(shù)．本文研究

9、的系統(tǒng)為圣=Ⅳ+￡R(z