直桿在軸向載荷作用下的動力屈曲

直桿在軸向載荷作用下的動力屈曲

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1、652以科學(xué)發(fā)展觀促進科技創(chuàng)新(中)直桿在軸向載荷作用下的動力屈曲王景超韓志軍張善元太原理工大學(xué)應(yīng)用力學(xué)研究所,030024摘要本文用Hamilton原理導(dǎo)出了直桿動態(tài)屈曲的控制方程和波陣面處的邊界條件。對屈曲運動方程定性分析表明,動力參數(shù)x的取值范圍規(guī)定了解的性質(zhì),當x<0時對應(yīng)著屈曲運動。直接展開含雙參數(shù)的特征行列式可得到不同邊界條件下的動態(tài)臨界屈曲栽荷,其值與實驗值基本相符。關(guān)鍵詞固體力學(xué)動力屈曲波陣面屈曲栽荷引言從20世紀60年代起,結(jié)構(gòu)在撞擊載荷作用下的動力屈曲的研究一直是固體力學(xué)領(lǐng)域中十分活躍的前沿課

2、題。關(guān)于這一方面的研究進展,文獻1~4從不同角度進行了詳盡的概括與評述。桿是工程中最常用的結(jié)構(gòu)元件,其動力屈曲問題的研究自然備受關(guān)注。文獻5首次用超高速攝影技術(shù)拍攝了彈性長板條撞擊屈曲的過程,并用放大函數(shù)法尋找動力屈曲的最優(yōu)發(fā)展模態(tài)。從某種意義上講,桿的撞擊屈曲比徑向壓力下的殼的屈曲更為復(fù)雜,因為軸向撞擊加載實際上是一個應(yīng)力波加載過程。從20世紀80年代以來,國內(nèi)外許多學(xué)者用應(yīng)力渡傳播理論來討論沖擊屈曲的I臨界條件。文獻6報道的桿一桿撞擊實驗,揭示了屈曲過程中的應(yīng)力波效應(yīng)。文獻7討論了階躍載荷作用下理想直桿中軸向

3、應(yīng)力波傳播導(dǎo)致的分叉問題,并考慮了應(yīng)力波的傳播和反射對屈曲的影響。文獻8基于能量守恒討淪了應(yīng)力波引起的彈塑性桿的動力屈曲問題,給出了雙特征參數(shù)解。但在理論分析中,一些觀點也尚未達成共識。本文在文獻9。10的基礎(chǔ)上,討論了彈性直桿在軸向沖擊載荷作用下的屈曲問題。用Hamilton原理導(dǎo)出了直桿動態(tài)屈曲的控制方程和波陣面處的邊界條件。對屈曲運動方程定性分析表明,動力參數(shù)x的取值范圍規(guī)定了解的性質(zhì),當,^<時對應(yīng)屈曲運動。直接展開含雙參數(shù)的特征行列式可得到受沖端為夾支時和受沖端為鉸支時的動態(tài)臨界屈曲載荷和屈曲模態(tài),其載

4、荷值與實驗值基本相符。一、控制方程及其解假設(shè)桿的剖面中心線為z軸,其長為L,~端夾支,另一端為固支,截面為b×h,受一軸向載荷P(t)的作用。當應(yīng)力渡波陣面到達距夾支端為f截面時(應(yīng)力波未發(fā)生反射)桿件的受力段發(fā)生突然屈曲,桿的彎曲仍采用平截面假定.桿內(nèi)任一點的z方向位移均為零,z,y方向的位移分別為“,”,這樣桿橫截面上任一點的應(yīng)變可表示為e=磊au+引1[如aw)一za缸2w:=“7+丁1””一zw”(1)桿中的動能、應(yīng)變能及外力功分別為丁=i18b。flrⅧ‘/2:(彬2甜脅如,u=導(dǎo)6?。海骸辒zdx,w

5、=肌)“(吣)(2)第48分會場學(xué)術(shù)沙龍——以科學(xué)發(fā)展觀推動科技的創(chuàng)新653應(yīng)用Hamilton原理,則有al(T—U+W)dt=0(3)將式(1)、式(2)代人式(3)化簡得Ⅲp加如+㈣一Ee恤7“圳一Ez2w'b'w”]dzdx+P(f)乩(O,t)}dt=O(4)因N=一IbEedz為軸力,壓為負,則有『2m舭(赫+二如)+N(du’+w鋤,)-Ez2w”dw"dx+肌)州吣)卜=0(5)分別對式(5)中的相關(guān)項進行分部積分,并考慮N(0,t)=P(f),于是可得到下列兩個控制方程和渡陣面處的一組邊界條件_

6、N’+oAa=0(6)Eiw”"+(Nw’)’+從彬=0(7)w(£)=∞7(£)=o(8)當軸力為常量時,方程(7)使可寫為Elw'"+Nw”+pA西=0(9)取下列無量綱最石=Ⅻ/i,;=“.i=112cit(10)其中,。=、門可兩。i=/而,c=/礪。則方程(9)可變?yōu)閣”+"03”+Ⅲ=0(11)令:面=Y(z)S(t),并將其代人式(11)可得(y”+r)/Y?S/s^(12)解方程(12)得pn瓶+!os瓶1>0S=‘C+DtA=O(13)tAe√一“+Be一/一“A<0分析方程(13)容易看出。^

7、>0時其解為振蕩解,表明如果系統(tǒng)i=0時經(jīng)受任意微小的初始擾動(初始位移或初始速度)后,i>0時系統(tǒng)將圍繞平衡位置儆微小振動,即系統(tǒng)所處狀態(tài)為穩(wěn)定平衡;當^0)系統(tǒng)會把微小擾動以指數(shù)形式放大,運動將是無界的,園此系統(tǒng)的狀態(tài)是不穩(wěn)定的;當^=0時,有重根,其解對:的二階導(dǎo)為零,即橫向加速度為零,為勻速度運動狀態(tài).這意味著S(0)=S(0)=o時的平衡位置面(X一,0)=0是中性平衡。經(jīng)實際推導(dǎo),并結(jié)合對方程(13)分析可知,只有當一1/4<^<0時,其根

8、為鏟,/i-1,/T:酉-4a鏟√嶧(14)此時方程(12)的解才為動力屈曲解,其解為YG)=CIsinkl;+C2eoskI;十C3sink2;+Cdcosk2;(15)以下分兩種邊界情況來討論動力屈曲的臨界載荷。654以科學(xué)發(fā)展觀促進科技創(chuàng)新(中)二、兩端固支梁動力屈曲分析當應(yīng)力波未發(fā)生反射時,設(shè)波前位置為},由式(8)則有Y(O)=Y’(o)=0,y(})=Y7({

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