簡諧振動(dòng)習(xí)題

《簡諧振動(dòng)習(xí)題》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。

1、四、簡諧振動(dòng)習(xí)題4-1符合什么規(guī)律的運(yùn)動(dòng)才是諧振動(dòng)?分別分析下列運(yùn)動(dòng)是不是諧振動(dòng)：(1)拍皮球時(shí)球的運(yùn)動(dòng)；(2)如題4-1圖所示，一小球在一個(gè)半徑很大的光滑凹球面內(nèi)滾動(dòng)(設(shè)小球所經(jīng)過的弧線很短)．題4-1圖解：要使一個(gè)系統(tǒng)作諧振動(dòng)，必須同時(shí)滿足以下三個(gè)條件：一，描述系統(tǒng)的各種參量，如質(zhì)量、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、擺長……等等在運(yùn)動(dòng)中保持為常量；二，系統(tǒng)是在自己的穩(wěn)定平衡位置附近作往復(fù)運(yùn)動(dòng)；三，在運(yùn)動(dòng)中系統(tǒng)只受到內(nèi)部的線性回復(fù)力的作用．或者說，若一個(gè)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程能用描述時(shí)，其所作的運(yùn)動(dòng)就是諧振動(dòng)．(1)拍皮球時(shí)球的運(yùn)動(dòng)不是諧振動(dòng)．第一，球的運(yùn)動(dòng)

2、軌道中并不存在一個(gè)穩(wěn)定的平衡位置；第二，球在運(yùn)動(dòng)中所受的三個(gè)力：重力，地面給予的彈力，擊球者給予的拍擊力，都不是線性回復(fù)力．(2)小球在題4-1圖所示的情況中所作的小弧度的運(yùn)動(dòng)，是諧振動(dòng)．顯然，小球在運(yùn)動(dòng)過程中，各種參量均為常量；該系統(tǒng)(指小球凹槽、地球系統(tǒng))的穩(wěn)定平衡位置即凹槽最低點(diǎn)，即系統(tǒng)勢(shì)能最小值位置點(diǎn)；而小球在運(yùn)動(dòng)中的回復(fù)力為，如題4-1圖(b)所示．題中所述，＜＜，故→0，所以回復(fù)力為.式中負(fù)號(hào)，表示回復(fù)力的方向始終與角位移的方向相反．即小球在點(diǎn)附近的往復(fù)運(yùn)動(dòng)中所受回復(fù)力為線性的．若以小球?yàn)閷?duì)象，則小球在以為圓心的豎直平面內(nèi)

3、作圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律，在凹槽切線方向上有令，則有4-2勁度系數(shù)為和的兩根彈簧，與質(zhì)量為的小球按題4-2圖所示的兩種方式連接，試證明它們的振動(dòng)均為諧振動(dòng)，并分別求出它們的振動(dòng)周期．題4-2圖解：(1)圖(a)中為串聯(lián)彈簧，對(duì)于輕彈簧在任一時(shí)刻應(yīng)有，設(shè)串聯(lián)彈簧的等效倔強(qiáng)系數(shù)為等效位移為，則有又有所以串聯(lián)彈簧的等效倔強(qiáng)系數(shù)為即小球與串聯(lián)彈簧構(gòu)成了一個(gè)等效倔強(qiáng)系數(shù)為的彈簧振子系統(tǒng)，故小球作諧振動(dòng)．其振動(dòng)周期為(2)圖(b)中可等效為并聯(lián)彈簧，同上理，應(yīng)有，即，設(shè)并聯(lián)彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)為，則有故同上理，其振動(dòng)周期為4-3如題4-3圖所示，物體

4、的質(zhì)量為，放在光滑斜面上，斜面與水平面的夾角為，彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)為，滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，半徑為．先把物體托住，使彈簧維持原長，然后由靜止釋放，試證明物體作簡諧振動(dòng)，并求振動(dòng)周期．題4-3圖解：分別以物體和滑輪為對(duì)象，其受力如題4-3圖(b)所示，以重物在斜面上靜平衡時(shí)位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，沿斜面向下為軸正向，則當(dāng)重物偏離原點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，有①②③式中，為靜平衡時(shí)彈簧之伸長量，聯(lián)立以上三式，有令則有故知該系統(tǒng)是作簡諧振動(dòng)，其振動(dòng)周期為4-4質(zhì)量為的小球與輕彈簧組成的系統(tǒng)，按的規(guī)律作諧振動(dòng)，求：(1)振動(dòng)的周期、振幅和初位相及速度與加速度的最大值；(

5、2)最大的回復(fù)力、振動(dòng)能量、平均動(dòng)能和平均勢(shì)能，在哪些位置上動(dòng)能與勢(shì)能相等?(3)與兩個(gè)時(shí)刻的位相差；解：(1)設(shè)諧振動(dòng)的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則知：又(2)當(dāng)時(shí)，有，即∴(3)4-5一個(gè)沿軸作簡諧振動(dòng)的彈簧振子，振幅為，周期為，其振動(dòng)方程用余弦函數(shù)表示．如果時(shí)質(zhì)點(diǎn)的狀態(tài)分別是：(1)；(2)過平衡位置向正向運(yùn)動(dòng)；(3)過處向負(fù)向運(yùn)動(dòng)；(4)過處向正向運(yùn)動(dòng)．試求出相應(yīng)的初位相，并寫出振動(dòng)方程．解：因?yàn)閷⒁陨铣踔禇l件代入上式，使兩式同時(shí)成立之值即為該條件下的初位相．故有4-6一質(zhì)量為的物體作諧振動(dòng)，振幅為，周期為，當(dāng)時(shí)位移為．求：(1)時(shí)，物體所

6、在的位置及此時(shí)所受力的大小和方向；(2)由起始位置運(yùn)動(dòng)到處所需的最短時(shí)間；(3)在處物體的總能量．解：由題已知∴又，時(shí)，故振動(dòng)方程為(1)將代入得方向指向坐標(biāo)原點(diǎn)，即沿軸負(fù)向．(2)由題知，時(shí)，，時(shí)∴(3)由于諧振動(dòng)中能量守恒，故在任一位置處或任一時(shí)刻的系統(tǒng)的總能量均為4-7有一輕彈簧，下面懸掛質(zhì)量為的物體時(shí)，伸長為．用這個(gè)彈簧和一個(gè)質(zhì)量為的小球構(gòu)成彈簧振子，將小球由平衡位置向下拉開后，給予向上的初速度，求振動(dòng)周期和振動(dòng)表達(dá)式．解：由題知而時(shí)，(設(shè)向上為正)又∴4-8圖為兩個(gè)諧振動(dòng)的曲線，試分別寫出其諧振動(dòng)方程．題4-8圖解：由題4

7、-8圖(a)，∵時(shí)，即故由題4-8圖(b)∵時(shí)，時(shí)，又∴故4-9一輕彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)為，其下端懸有一質(zhì)量為的盤子．現(xiàn)有一質(zhì)量為的物體從離盤底高度處自由下落到盤中并和盤子粘在一起，于是盤子開始振動(dòng)．(1)此時(shí)的振動(dòng)周期與空盤子作振動(dòng)時(shí)的周期有何不同?(2)此時(shí)的振動(dòng)振幅多大?(3)取平衡位置為原點(diǎn)，位移以向下為正，并以彈簧開始振動(dòng)時(shí)作為計(jì)時(shí)起點(diǎn)，求初位相并寫出物體與盤子的振動(dòng)方程．解：(1)空盤的振動(dòng)周期為，落下重物后振動(dòng)周期為，即增大．(2)按(3)所設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)及計(jì)時(shí)起點(diǎn)，時(shí)，則．碰撞時(shí)，以為一系統(tǒng)動(dòng)量守恒，即則有于是（3）(第三象限)

8、，所以振動(dòng)方程為4-10有一單擺，擺長，擺球質(zhì)量，當(dāng)擺球處在平衡位置時(shí)，若給小球一水平向右的沖量，取打擊時(shí)刻為計(jì)時(shí)起點(diǎn)，求振動(dòng)的初位相和角振幅，并寫出小球的振動(dòng)方程．解：由動(dòng)量定理，有∴按題設(shè)計(jì)時(shí)起點(diǎn)，并設(shè)向右為軸正向，