高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)：定積分與微積分基本定理

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1、高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)：定積分與微積分基本定理知識網(wǎng)絡(luò)　　　　　　　　　　　　　　　　目標認知考試大綱要求：　　了解定積分的實際背景，了解定積分的基本思想，了解定積分的概念及其基本定理。重點：　　正確計算定積分，利用定積分求面積。難點：　　正確計算定積分，利用定積分求面積。知識要點梳理知識點一：定積分的概念　　定積分的定義：如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，用分點將區(qū)間等分成個小區(qū)間，在每個小區(qū)間上任取一點，作和式，當(dāng)時，上述和式無限接近某個常數(shù)，這個常數(shù)叫做函數(shù)在區(qū)間上的定積分.記作，即＝，這里，與分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間叫做積分區(qū)間，函數(shù)叫做被積函數(shù)，叫做

2、積分變量，叫做被積式.　　說明：　?。?）定積分的值是一個常數(shù)，可正、可負、可為零；　?。?）用定義求定積分的四個基本步驟：①分割；②近似代替；③求和；④取極限.知識點二：定積分的性質(zhì)　?。?）（為常數(shù)），　　（2），　?。?）（其中），　　（4）利用函數(shù)的奇偶性求積分：　　若函數(shù)在區(qū)間上是奇函數(shù)，則；　　若函數(shù)在區(qū)間上是偶函數(shù)，則.知識點三：微積分基本定理　　如果，且在上連續(xù)，則,其中叫做的一個原函數(shù).由于也是的原函數(shù)，其中c為常數(shù).　　一般地，原函數(shù)在上的改變量簡記作.因此，微積分基本定理可以寫成形式：.　　說明：求定積分主要是要找到被積函數(shù)的

3、原函數(shù)，也就是說，要找到一個函數(shù)，它的導(dǎo)函數(shù)等于被積函數(shù).由此，求導(dǎo)運算與求原函數(shù)運算互為逆運算.知識點四：定積分的幾何意義　　設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù).　　在上，當(dāng)時，定積分在幾何上表示由曲線以及直線與軸圍成的曲邊梯形的面積；如圖（1）所示.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　在上，當(dāng)時，由曲線以及直線與軸圍成的曲邊梯形位于軸下方，定積分在幾何上表示上述曲邊梯形面積的負值；　　在上，當(dāng)既取正值又取負值時，定積分的幾何意義是曲線，兩條直線與軸所圍成的各部分面積的代數(shù)和.在軸上方的面積積分時取正號，在軸下方的面積積分時，取負號.如圖（2）所示.　　　

4、　　　　　　　　　　　　　知識點五：應(yīng)用（一）應(yīng)用定積分求曲邊梯形的面積　　1.如圖，由三條直線，，軸（即直線）及一條曲線　　()圍成的曲邊梯形的面積：；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2.如圖，由三條直線，，軸（即直線）及一條曲線　　()圍成的曲邊梯形的面積：；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　3.如圖，由曲線及直線，圍成圖形的面積公式為：.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　4.利用定積分求平面圖形面積的步驟：　?。?）畫出草圖，在直角坐標系中畫出曲線或直線的大致圖像；　?。?）借助圖形確定出被積函數(shù)，求出交點坐標，確定積分的上

5、、下限；　　（3）寫出定積分表達式；　?。?）求出平面圖形的面積.（二）利用定積分解決物理問題　　①變速直線運動的路程　　　作變速直線運動的物體所經(jīng)過的路程，等于其速度函數(shù)在時間區(qū)間上的定積　　　分，即.　?、谧兞ψ鞴Α　　∥矬w在變力的作用下做直線運動，并且物體沿著與相同的方向從移動到　　　，那么變力所作的功.規(guī)律方法指導(dǎo)　　1.要正確理解定積分的概念，掌握其幾何意義，從而解決實際問題；　　2.要正確計算定積分，需非常熟悉導(dǎo)數(shù)的運算。