用幾何畫(huà)板畫(huà)雙曲線

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1、幾何畫(huà)板簡(jiǎn)明教程用幾何畫(huà)板畫(huà)雙曲線一．雙曲線的定義：1．在平面內(nèi)，到兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)(小于

2、F1F2

3、)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線。這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做焦距。2．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：設(shè)M(x,y)是雙曲線是上任意一點(diǎn)，雙曲線的焦距為2c(c>0)，則如圖建立直角坐標(biāo)系，又F1、F2的坐標(biāo)分別是F1(－c,0),F2(c,0)，若M點(diǎn)與F1、F2兩點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值等于2a(c>a>0)，則

4、

5、MF1

6、－

7、MF2

8、

9、＝2a,∴,圖10－1整理化簡(jiǎn)，并且設(shè)b2＝c2－a2得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.3．雙曲線的第二定義：設(shè)動(dòng)點(diǎn)M(x,y)與定點(diǎn)F(c,0)

10、的距離和它到定直線:x＝的距離的比是常數(shù)(c>a>0)，則點(diǎn)M的軌跡是雙曲線。點(diǎn)F是雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，直線是雙曲線中對(duì)應(yīng)于焦點(diǎn)F的準(zhǔn)線。常數(shù)e＝(e>1)是雙曲線的離心率。圖10－24．雙曲線的參數(shù)方程：以原點(diǎn)為圓心，分別以a、b(a,b>0)為半徑作兩個(gè)圓，

11、OA

12、＝a,

13、OB

14、＝b,點(diǎn)P是以a為半徑的圓上的一個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)C是OA與半徑為bd圓的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CN⊥Ox，交直線OP于N，過(guò)點(diǎn)N作OX軸的平行線，過(guò)點(diǎn)P作PR⊥OP，交Ox軸于R，過(guò)點(diǎn)R作直線RM交過(guò)點(diǎn)N的x軸的平行線于點(diǎn)M，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，M點(diǎn)的軌跡是雙曲線。設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是(x,y)，φ是以O(shè)x為始邊，OP為終邊的正角，取φ

15、為參數(shù)，那么圖10－3x＝

16、OR

17、＝

18、OP

19、secφ＝asecφ,y＝

20、RM

21、＝

22、CN

23、＝

24、OC

25、tgφ＝btgφ,55幾何畫(huà)板簡(jiǎn)明教程∴雙曲線的參數(shù)方程是(φ是參數(shù)).二．雙曲線的畫(huà)法：畫(huà)法1：圖10－41．在x軸上取兩點(diǎn)F1、F2，使

26、OF1

27、＝

28、OF2

29、，用它們作為兩個(gè)焦點(diǎn)；2．在圖形外作一條線段AB，使

30、AB

31、＝2a，(

32、AB

33、<

34、F1F2

35、)；3．以O(shè)為中心，在x軸上取兩點(diǎn)A1、A2，使

36、A1A2

37、＝

38、AB

39、；4．在AB延長(zhǎng)線上分別取C'，使

40、BC'

41、＝

42、A1F1

43、；在ABC'的延長(zhǎng)線方向上作射線C'C，并用“作圖”菜單中的“對(duì)象上的點(diǎn)”功能在C'C上作點(diǎn)C；5．分別以F1、F2為

44、圓心，用

45、BC

46、、

47、AC

48、為半徑作圓，兩圓相交于P1、P2兩點(diǎn)；同樣方法分別以F1、F2為圓心，用

49、AC

50、、

51、BC

52、為半徑作圓，兩圓相交于P3、P4兩點(diǎn)；并將這四個(gè)點(diǎn)定義為“追蹤點(diǎn)”；6．依次選中點(diǎn)C、點(diǎn)P1(或點(diǎn)C、點(diǎn)P2,或點(diǎn)C、點(diǎn)P3,或點(diǎn)C、點(diǎn)P3)，用“作圖”菜單中的“軌跡”功能，作出雙曲線。理論根據(jù)：點(diǎn)P1是兩圓的交點(diǎn)，∴點(diǎn)P1到F1與F2的距離的差等于兩圓的半徑的差,即

53、

54、PF1

55、－

56、PF2

57、

58、＝

59、AC

60、－

61、BC

62、＝

63、AB

64、＝2a.說(shuō)明：點(diǎn)C不要直接在BC上取，那樣畫(huà)出來(lái)的雙曲線將在x軸附近斷開(kāi)一段，因?yàn)橛?jì)算機(jī)畫(huà)的曲線實(shí)際上是由若干條小線段形成的，這些線段的端點(diǎn)是由符合條件的若

65、干個(gè)點(diǎn)中隨機(jī)選取的，當(dāng)我們使點(diǎn)C在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)C非常接近點(diǎn)B時(shí)，兩圓沒(méi)有交點(diǎn)，于是畫(huà)出來(lái)的圖形就不好看了。畫(huà)法2：1．在x軸上取兩點(diǎn)F1、F2，使

66、OF1

67、＝

68、OF2

69、，用它們作為兩個(gè)焦點(diǎn)；2．在圖形外作一條線段，使它的長(zhǎng)度為2a，(2a<

70、F1F2

71、)；55幾何畫(huà)板簡(jiǎn)明教程圖10－53．以F1為圓心，2a為半徑作圓，在圓上任取一點(diǎn)P；4．連接PF1、PF2，作PF2的中垂線與直線PF1交于點(diǎn)M，連接MF2；5．將點(diǎn)M定義為“追蹤點(diǎn)”，分別選中點(diǎn)M、點(diǎn)P，用“作圖”菜單中的“軌跡”功能畫(huà)出雙曲線。理論根據(jù)：點(diǎn)M在PF2的中垂線上，∴

72、MP

73、＝

74、MF2

75、,∴

76、MF1

77、－

78、MF2

79、＝

80、MF

81、1

82、－

83、MP

84、＝

85、F1P

86、＝2a.即點(diǎn)M到兩個(gè)定點(diǎn)F1和F2的距離的差等于定長(zhǎng)2a。點(diǎn)M的軌跡是一個(gè)雙曲線。畫(huà)法3：1．在平面直角坐標(biāo)系中取點(diǎn)F1、F2，使

87、OF1

88、＝

89、OF2

90、，把它們作為焦點(diǎn)，在OF1上取一點(diǎn)A1，使它作為雙曲線的頂點(diǎn)；2．度量OF1、OA1，把它們的長(zhǎng)分別作為c和a，使a

91、ON

92、＝,過(guò)點(diǎn)N作Ox軸的垂線作為雙曲線的準(zhǔn)線；4．選中Ox軸，用“作圖”菜單中的“對(duì)象上的點(diǎn)”功能，取動(dòng)點(diǎn)P；5．計(jì)算e＝，并度量

93、NP

94、的長(zhǎng)，計(jì)算

95、NP

96、×；6．以點(diǎn)F2為圓心，

97、NP

98、×為半徑作圓，此圓與過(guò)點(diǎn)P且垂直于Ox軸的直線相交于M1，M2兩點(diǎn)；7．分

99、別選中點(diǎn)M1和點(diǎn)P(或點(diǎn)M2和點(diǎn))，用“作圖”菜單中的“軌跡”55幾何畫(huà)板簡(jiǎn)明教程功能，畫(huà)出雙曲線。圖10－6理論根據(jù)：點(diǎn)M1到點(diǎn)F2的距離是

100、NP

101、×，點(diǎn)M1到準(zhǔn)線的距離

102、M1D

103、＝

104、NP

105、,∴＝＝e.∴點(diǎn)M1在雙曲線上。畫(huà)法4：1．以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，分別以a、b(a,b>0)為半徑畫(huà)兩個(gè)圓;2．圓OA與x軸的正方向交于點(diǎn)C，過(guò)C作x軸的垂線，3．在圓OA上取一點(diǎn)P，連接OP，直線OP與過(guò)點(diǎn)C且和x軸垂直