讓你立刻愛上數(shù)學(xué)的10個(gè)算術(shù)游戲

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1、讓你立刻愛上數(shù)學(xué)的10個(gè)算術(shù)游戲數(shù)字黑洞6174任意選一個(gè)四位數(shù)（數(shù)字不能全相同），把所有數(shù)字從大到小排列，再把所有數(shù)字從小到大排列，用前者減去后者得到一個(gè)新的數(shù)。重復(fù)對(duì)新得到的數(shù)進(jìn)行上述操作，7步以內(nèi)必然會(huì)得到6174。例如，選擇四位數(shù)6767：7766-6677=10899810-0189=96219621-1269=83528532-2358=61747641-1467=6174……6174這個(gè)“黑洞”就叫做Kaprekar常數(shù)。對(duì)于三位數(shù)，也有一個(gè)數(shù)字黑洞——495。3x+1問題從任意一個(gè)正整數(shù)開始，重復(fù)對(duì)其進(jìn)行下面的操作：如果這個(gè)數(shù)是偶數(shù)，把它除以2；

2、如果這個(gè)數(shù)是奇數(shù)，則把它擴(kuò)大到原來(lái)的3倍后再加1。你會(huì)發(fā)現(xiàn)，序列最終總會(huì)變成4,2,1,4,2,1,…的循環(huán)。例如，所選的數(shù)是67，根據(jù)上面的規(guī)則可以依次得到：67,202,101,304,152,76,38,19,58,29,88,44,22,11,34,17,52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1,4,2,1,...數(shù)學(xué)家們?cè)嚵撕芏鄶?shù)，沒有一個(gè)能逃脫“421陷阱”。但是，是否對(duì)于所有的數(shù)，序列最終總會(huì)變成4,2,1循環(huán)呢？這個(gè)問題可以說(shuō)是一個(gè)“坑”——乍看之下，問題非常簡(jiǎn)單，突破口很多，于是數(shù)學(xué)家們紛紛往里面跳；殊不知進(jìn)去容易出去難，不

3、少數(shù)學(xué)家到死都沒把這個(gè)問題搞出來(lái)。已經(jīng)中招的數(shù)學(xué)家不計(jì)其數(shù)，這可以從3x+1問題的各種別名看出來(lái)：3x+1問題又叫Collatz猜想、Syracuse問題、Kakutani問題、Hasse算法、Ulam問題等等。后來(lái)，由于命名爭(zhēng)議太大，干脆讓誰(shuí)都不沾光，直接叫做3x+1問題算了。直到現(xiàn)在，數(shù)學(xué)家們?nèi)匀粵]有證明，這個(gè)規(guī)律對(duì)于所有的數(shù)都成立。特殊兩位數(shù)乘法的速算如果兩個(gè)兩位數(shù)的十位相同，個(gè)位數(shù)相加為10，那么你可以立即說(shuō)出這兩個(gè)數(shù)的乘積。如果這兩個(gè)數(shù)分別寫作AB和AC，那么它們的乘積的前兩位就是A和A+1的乘積，后兩位就是B和C的乘積。比如，47和43的十位數(shù)相同，

4、個(gè)位數(shù)之和為10，因而它們乘積的前兩位就是4×(4+1)=20，后兩位就是7×3=21。也就是說(shuō)，47×43=2021。類似地，61×69=4209，86×84=7224，35×35=1225，等等。這個(gè)速算方法背后的原因是，(10x+y)(10x+(10-y))=100x(x+1)+y(10-y)對(duì)任意x和y都成立?；梅街械幕谩胺健币粋€(gè)“三階幻方”是指把數(shù)字1到9填入3×3的方格，使得每一行、每一列和兩條對(duì)角線的三個(gè)數(shù)之和正好都相同。下圖就是一個(gè)三階幻方，每條直線上的三個(gè)數(shù)之和都等于15。大家或許都聽說(shuō)過(guò)幻方這玩意兒，但不知道幻方中的一些美妙的性質(zhì)。例如，任意

5、一個(gè)三階幻方都滿足，各行所組成的三位數(shù)的平方和，等于各行逆序所組成的三位數(shù)的平方和。對(duì)于上圖中的三階幻方，就有8162+3572+4922=6182+7532+2942利用線性代數(shù)，我們可以證明這個(gè)結(jié)論。天然形成的幻方從1/19到18/19這18個(gè)分?jǐn)?shù)的小數(shù)循環(huán)節(jié)長(zhǎng)度都是18。把這18個(gè)循環(huán)節(jié)排成一個(gè)18×18的數(shù)字陣，恰好構(gòu)成一個(gè)幻方——每一行、每一列和兩條對(duì)角線上的數(shù)字之和都是81（注：嚴(yán)格意義上說(shuō)它不算幻方，因?yàn)榉疥囍杏邢嗤瑪?shù)字）。196算法一個(gè)數(shù)正讀反讀都一樣，我們就把它叫做“回文數(shù)”。隨便選一個(gè)數(shù)，不斷加上把它反過(guò)來(lái)寫之后得到的數(shù)，直到得出一個(gè)回文數(shù)為

6、止。例如，所選的數(shù)是67，兩步就可以得到一個(gè)回文數(shù)484：67+76=143143+341=484把69變成一個(gè)回文數(shù)則需要四步：69+96=165165+561=726726+627=13531353+3531=488489的“回文數(shù)之路”則特別長(zhǎng)，要到第24步才會(huì)得到第一個(gè)回文數(shù)，8813200023188。大家或許會(huì)想，不斷地“一正一反相加”，最后總能得到一個(gè)回文數(shù)，這當(dāng)然不足為奇了。事實(shí)情況也確實(shí)是這樣——對(duì)于幾乎所有的數(shù)，按照規(guī)則不斷加下去，遲早會(huì)出現(xiàn)回文數(shù)。不過(guò)，196卻是一個(gè)相當(dāng)引人注目的例外。數(shù)學(xué)家們已經(jīng)用計(jì)算機(jī)算到了3億多位數(shù)，都沒有產(chǎn)生過(guò)一次

7、回文數(shù)。從196出發(fā)，究竟能否加出回文數(shù)來(lái)？196究竟特殊在哪兒？這至今仍是個(gè)謎。Farey序列選取一個(gè)正整數(shù)n。把所有分母不超過(guò)n的最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)找出來(lái)，從小到大排序。這個(gè)分?jǐn)?shù)序列就叫做Farey序列。例如，下面展示的就是n=7時(shí)的Farey序列。定理：在Farey序列中，對(duì)于任意兩個(gè)相鄰分?jǐn)?shù)，先算出前者的分母乘以后者的分子，再算出前者的分子乘以后者的分母，則這兩個(gè)乘積一定正好相差1！這個(gè)定理有從數(shù)論到圖論的各種證明。甚至有一種證明方法巧妙地借助Pick定理，把它轉(zhuǎn)換為了一個(gè)不證自明的幾何問題！唯一的解經(jīng)典數(shù)字謎題：用1到9組成一個(gè)九位數(shù)，使得這個(gè)數(shù)的第一位能被1整

8、除，前兩位組成的兩位數(shù)能