考點(diǎn)8數(shù)列的綜合應(yīng)用

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1、考點(diǎn)8、數(shù)列的綜合應(yīng)用1.（2010·湖北高考理科·Ｔ7）如圖，在半徑為r的圓內(nèi)作內(nèi)接正六邊形，再作正六邊形的內(nèi)切圓，又在此內(nèi)切圓內(nèi)作內(nèi)接正六邊形，如此無限繼續(xù)下去.設(shè)為前個圓的面積之和，則（）A．B.C.D.【命題立意】本題主要考查正六邊形的性質(zhì)、正六邊形的內(nèi)切圓半徑與其邊長的關(guān)系、等比數(shù)列的通項公式和前ｎ項和公式的應(yīng)用，考查無窮遞縮等比數(shù)列前n項和極限的計算，考查考生的運(yùn)算求解能力．【思路點(diǎn)撥】先由正六邊形的內(nèi)切圓半徑與其邊長的關(guān)系求出相鄰兩圓的半徑的關(guān)系，從而將所有內(nèi)切圓的面積按從小到大的順序排列構(gòu)造一個等比數(shù)列，由公比知【規(guī)范解答】選C，設(shè)正六邊形第n個內(nèi)切圓的半徑為

2、，面積為，則，從而=，由，，知是首項為，公比為的等比數(shù)列。所以==4.【方法技巧】對于等比數(shù)列，若公比，則其前n項和當(dāng)n趨向于正無窮大時極限存在且。2.（2010·上海高考理科·Ｔ１0）在行n列矩陣中，記位于第行第列的數(shù)為．當(dāng)時，．【命題立意】本題考查學(xué)生的分析推理和歸納能力．【思路點(diǎn)撥】觀察矩陣的特點(diǎn)，找到n=9時對應(yīng)的數(shù)，再求解．第17頁共17頁.【規(guī)范解答】45．當(dāng)時，1+3+5+7++9+2+4+6+8=45.【方法技巧】本題觀察一定要仔細(xì)認(rèn)真，因為n=9個數(shù)不多，可以將矩陣列出來再求解．3.（2010·湖北高考理科·Ｔ20）已知數(shù)列滿足:,,；數(shù)列滿足：=（n≥1）

3、.(Ⅰ)求數(shù)列，的通項公式;(Ⅱ)證明:數(shù)列中的任意三項不可能成等差數(shù)列.【命題立意】本題主要考查等差、等比數(shù)列的定義，考查利用數(shù)列遞推關(guān)系式求數(shù)列通項的思想，考查反證法及考生的推理論證能力．【思路點(diǎn)撥】(Ⅰ)由題意構(gòu)造新數(shù)列滿足：，先求的通項公式，再求的通項公式，最后求的通項公式。(Ⅱ)用反證法證明?！疽?guī)范解答】(Ⅰ)由題意可知：，令，則，又，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，即，故。又>0，，故，==。(Ⅱ)證明：（反證法）假設(shè)數(shù)列存在三項，，按某種順序構(gòu)成等差數(shù)列，由于數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，于是一定有，則只能有成立，即：，兩邊同乘以可得：，由于，所以上式

4、左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)，從而上式不可能成立，導(dǎo)致矛盾。故數(shù)列中的任意三項不可能成等差數(shù)列?！痉椒记伞恳阎獢?shù)列的遞推關(guān)系式求第17頁共17頁.通項公式較困難時，通常都要先構(gòu)造新的數(shù)列，利用等差、等比數(shù)列的通項公式或累加、累乘的方法求出新數(shù)列的通項公式，再求題設(shè)中數(shù)列的通項公式。4.（2010·重慶高考理科·Ｔ21）在數(shù)列中，=1，，其中實數(shù)。（1）求的通項公式；（2）若對一切有，求的取值范圍?！久}立意】本小題考查歸納、猜想解題，考查數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用，考查數(shù)列的基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查分類討論的思想.【思路點(diǎn)撥】（1）先求出數(shù)列的前幾項，歸納猜想

5、得出結(jié)論，再用數(shù)學(xué)歸納法證明；（2）對恒成立問題進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化，【規(guī)范解答】（1）【方法1】：由，，，，猜測（），下面用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)n=1時，等式成立；假設(shè)當(dāng)n=k時，等式成立，即，則當(dāng)n=k+1時，綜上可知，對任何都成立.【方法2】：由原式，令，則，，因此對有因此，，。又當(dāng)n=1時上式成立。因此，，。第17頁共17頁.（2）【方法1】：由，得因，所以解此不等式得：對一切，有或，其中易知（因為的分子、分母的最高次項都是2，且系數(shù)都是8，所以極限值是）；用放縮法得：，所以，因此由對一切成立得；又，易知單調(diào)遞增，故對一切成立，因此由對一切成立得：，從而c的取值范圍為.【方法2】

6、：由，得，因，所以對恒成立.記，下分三種情況討論。（i）當(dāng)即或時，代入驗證可知只有滿足要求（ii）當(dāng)時，拋物線開口向下，因此當(dāng)正整數(shù)k充分大時，，不符合題意，此時無解。（iii）當(dāng)，即或時，拋物線開口向上，其對稱軸必在直線第17頁共17頁.的左側(cè)，因此，在上是增函數(shù)。所以要使對恒成立，只需即可。由解得或結(jié)合或得或綜合以上三種情況，的取值范圍為.【方法技巧】（1）第（1）問有兩種方法解答：①歸納猜想并用數(shù)學(xué)歸納法證明；②數(shù)列的迭代法（或累加消項法）；（2）第（2）問中對條件“恒成立”進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為一元二次不等式求解或轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)進(jìn)行討論；（3）放縮法的運(yùn)用..5.（20

7、10·重慶高考文科·Ｔ16）已知是首項為19，公差為-2的等差數(shù)列，為的前n項和.（1）求通項公式及；（2）設(shè)是首項為1，公比為3的等比數(shù)列，求數(shù)列的通項公式及其前n項和【命題立意】本小題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識，考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的前項和公式及其應(yīng)用，考查運(yùn)算求解的能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化的思想.【思路點(diǎn)撥】（1）直接套用等差數(shù)列的通項公式和前項和公式計算；（2）直接套用等比數(shù)列的通項公式求出的通項，再求數(shù)列的通項公式.【規(guī)范解答】（1）因為是首項為19，公差為-2的等差數(shù)列，所以，即；，即.