線性代數(shù)§4.3

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1、§4.3向量組的秩一、最大線性無關(guān)向量組定義1:設(shè)有向量組A,如果在A中能選出r個向量A0:α1,α2,···,αr,滿足(1)向量組A0:α1,α2,···,αr線性無關(guān);(2)向量組A中任意r+1個向量(如果存在的話)都線性相關(guān).則稱向量組A0是向量組A的一個最大線性無關(guān)向量組(簡稱最大無關(guān)組).最大無關(guān)組所含向量的個數(shù)r稱為向量組的秩,記作RA.只含零向量的向量組沒有最大無關(guān)組,規(guī)定它的秩為0.說明(1):最大無關(guān)組不唯一.?1??0??2?例如:α=?1?,α=?2?,α=?4?,1??2??3???1??5??7?知R(α

2、1,α2,α3)=2,即α1,α2,α3線性相關(guān),而α1,α2和α2,α3都線性無關(guān),所以α1,α2和α2,α3都是α1,α2,α3的最大無關(guān)組.說明(2):向量組與它的最大無關(guān)組是等價的.設(shè)A0:α1,α2,···,αn是向量組A的一個最大無關(guān)組.則顯然A0可由A線性表示.對A中任意向量α將其加入A0中得到向量組α1,α2,···,αn,α是線性相關(guān)的,則由上節(jié)定理5的結(jié)論(3)知,α可A0由線性表示,從而向量組A可由它的最大無關(guān)組A0線性表示.所以,向量組與它的最大無關(guān)組是等價的.二、矩陣與向量組秩的關(guān)系定理6:矩陣的秩等于它的

3、列向量組的秩,也等于它的行向量組的秩.證明:設(shè)A=(α1,α2,···,αm),R(A)=r,并設(shè)其r階子式Dr≠0.根據(jù)上節(jié)的定理4,由Dr≠0知,Dr所在的列向量組線性無關(guān),又由于A中所有r+1階子式均為零知,A中任意r+1個列向量都線性相關(guān).因此Dr所在的r列是A的列向量的一個最大無關(guān)組,所以A的列向量組的秩等于r.類似可證A的行向量組的秩也等于R(A).向量組α1,α2,···,αm的秩也記作R(α1,α2,···,αm).結(jié)論:若Dr是矩陣A的一個最高階非零子式,則Dr所在的r列即是A的列向量組的一個最大無關(guān)組,Dr所在的

4、r行即是A的行向量組的一個最大無關(guān)組.例1:全體n維實向量構(gòu)成的向量組記作Rn,求Rn的一個最大無關(guān)組及Rn的秩.解:因為n維單位坐標向量構(gòu)成的向量組E:e1,e2,···,en是線性無關(guān)的.又根據(jù)上節(jié)定理5的結(jié)論(3)知,Rn中的任意n+1個向量都是線性相關(guān)的,因此向量組E是Rn的一個最大無關(guān)組,且Rn的秩等于n.推論(最大無關(guān)組的等價定義):設(shè)有向量組A0:α1,α2,···,αr是向量組A的一個部分組,且滿足:(1)向量組A0:α1,α2,···,αr線性無關(guān);(2)向量組A的任意向量都能由向量組A0線性表示;則向量組A0是向

5、量組A的一個最大無關(guān)組.實際上,依定義只需證明向量組A中的任意r+1個向量都線性相關(guān)即可.設(shè)b1,b2,···,br+1為向量組A中的任意r+1個向量,由條件(2)知,這r+1個向量可以由向量組A0線性表示,則由定理4可知:R(b1,b2,···,br+1)≤R(α1,α2,···,αr)=r,再由定理4可得:向量組b1,b2,···,br+1線性相關(guān),則由定義知:向量組A0是向量組A的一個最大無關(guān)組.?2?1?112??11?214?例2:設(shè)矩陣A=?4?62?24?,???36?979?求A矩陣的列向量組的一個最大無關(guān)組,并把不

6、屬于最大無關(guān)組的列向量用最大無關(guān)組線性表示.解:對A施行初等行變換變?yōu)樾须A梯形矩陣:?11?214??01?110?A~,?0001?3????00000?得R(A)=3.故列向量組的最大無關(guān)組含3個向量.而三個非零行的非零首元所在的1,2,4三列.故α1,α2,α4為列向量組的一個最大無關(guān)組.事實上?2?11??111??111?初等行變換?011?(α1,α2,α4)=?4?6?2?~?001??????367??000?知R(α1,α2,α4)=3,故α1,α2,α4線性無關(guān).要把α3,α5用α1,α2,α4線性表示必須將A再

7、變成行最簡形矩陣.?10?104??01?103?A初等行變換??=B.0001?3~???00000?即得?α3=?α1?α2.(1)??α5=4α1+3α2?3α4此式成立的理論依據(jù):設(shè)B的列向量組為:β1,β2,β3,β4,β5.由于齊次線性方程組Ax=0與Bx=0同解,即(α1,α2,α3,α4,α5)x=0與(β1,β2,β3,β4,β5)x=0同解,設(shè)其解為:x1,x2,x3,x4,x5,則有x1α1+x2α2+x3α3+x4α4+x5α5=0(2)與x1β1+x2β2+x3β3+x4β4+x5β5=0(3)同時成立.取

8、其兩個解:x1=4,x2=3,x3=0,x4=–3,x5=–1;和x1=1,x2=1,x3=1,x4=0,x5=0.得α1+α2+α3=0即?α3=?α1?α2.?4α1+3α2–3α4–α5=0?α5=4α1+3α2?3α4這兩個解