概率統(tǒng)計(jì)第二講2011

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1、暨南大學(xué)數(shù)學(xué)系張傳林2010-2011-2數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)、信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)《概率統(tǒng)計(jì)》課程講議版權(quán)申明：僅供作者本人和學(xué)生學(xué)習(xí)閱讀使用，請(qǐng)勿做他用第二講隨機(jī)變量與概率分布一、隨機(jī)變量及分布的概念上一講，我們研究了隨機(jī)事件及其概率，在某些例子中，隨機(jī)事件和實(shí)數(shù)之間存在著某種客觀的聯(lián)系。比如，在一個(gè)盒子中有4件產(chǎn)品，其中3件正品，1件次品，從中任取2件，觀察取出的產(chǎn)品中含正品的件數(shù)。如果令ξ=取出的2件產(chǎn)品中含正品的件數(shù)則ξ取值為1，2，具體取哪個(gè)取決于試驗(yàn)結(jié)果，也就是與樣本點(diǎn)ω有關(guān),而ω又隨試驗(yàn)次數(shù)而變化，因而叫隨機(jī)變量。“取出的2件產(chǎn)品全是正品”這一事件就可以簡單

2、地用（ξ=2）表示。有些情況隨機(jī)量雖然與實(shí)數(shù)之間沒有上述那種“自然”的聯(lián)系，但總可以人為地建立起一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系。例如拋一枚硬幣，可能出現(xiàn)正面，也可能出現(xiàn)反面，現(xiàn)在約定若試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)正面，令η=1，若試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)反面，令η=0，這樣，事件“試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)正面”可用（η=1）表示；事件“試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)反面”可用（η=0）表示。對(duì)于變量ξ和η，它們?nèi)∈裁粗担诿看卧囼?yàn)之前是不能確定的，因?yàn)樗鼈兊娜≈狄蕾囉谠囼?yàn)的結(jié)果，也就是說它們的取值是隨機(jī)的。因此稱這種變量為隨機(jī)變量。一方面，試驗(yàn)的每一個(gè)結(jié)果都對(duì)應(yīng)隨機(jī)變量的一個(gè)確定的值，于是隨機(jī)變量可看作樣本空間上的一個(gè)“函數(shù)”，故可記為ξ=

3、ξ(ω),ω∈?，對(duì)每種可能的實(shí)驗(yàn)結(jié)果即樣本點(diǎn)ω都對(duì)應(yīng)著一個(gè)實(shí)數(shù)ξ(ω)，而ξ(ω)又是隨1暨南大學(xué)數(shù)學(xué)系張傳林2010-2011-2數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)、信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)《概率統(tǒng)計(jì)》課程講議版權(quán)申明：僅供作者本人和學(xué)生學(xué)習(xí)閱讀使用，請(qǐng)勿做他用試驗(yàn)結(jié)果不同而變化的一個(gè)變量；另一方面，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x<∞,{ω∈?:ξ≤x}表示事件，如ξ≤1,ξ≤2.5分別表示“取出的2件產(chǎn)品中至多有一件正品”和“取出的2件產(chǎn)品中至多有兩件正品”這兩個(gè)事件。下面給出隨機(jī)變量的定義。隨機(jī)變量的直觀描述：一個(gè)取值依賴于一定條件實(shí)現(xiàn)下的結(jié)果的數(shù)量X，而且對(duì)任何給定實(shí)數(shù)c事件“X取值不超過c”是

4、有概率的，則稱X為隨機(jī)變量。定義設(shè)Ω是樣本空間，即一定條件實(shí)現(xiàn)下所有可能結(jié)果的集合，ξ=ξ(ω)是定義在Ω上的實(shí)值函數(shù)，如果對(duì)任意實(shí)數(shù)x,{ω∈?

5、ξ(ω)≤x}是事件，即該事件有概率，則稱ξ=ξ(ω)為隨機(jī)變量。教材69—71，例1.1,1.2,1.3,1.4,1.5,1.6,1.7例觀察電話交換臺(tái)在單位時(shí)間內(nèi)收到的呼叫次數(shù)。該試驗(yàn)的樣本空間為：?={0,1,2,3,?}其中k=“在單位時(shí)間內(nèi)收到k次呼叫”，k=0,1,2,3,?,定義Ω上的一個(gè)函數(shù)ξ(k)=k,k∈?。由試驗(yàn)的實(shí)際意義可知，對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,{ξ≤x}顯然是一事件，因而ξ是隨機(jī)變量。例1試驗(yàn)：從裝

6、有三個(gè)白球（記為1，2，3號(hào)）與兩個(gè)黑球（記為4，5號(hào)）的袋中任取兩個(gè)球，則樣本空間可以表示為：?={{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{2,3},{2,4},{2,5},{3,4},{3,5},{4,5}}（注：{（白，白），（白，黑），（黑，黑）}或{ω,ω,ω}嚴(yán)格講0001112暨南大學(xué)數(shù)學(xué)系張傳林2010-2011-2數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)、信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)《概率統(tǒng)計(jì)》課程講議版權(quán)申明：僅供作者本人和學(xué)生學(xué)習(xí)閱讀使用，請(qǐng)勿做他用不是樣本空間。）用ξ表示取出的兩個(gè)球中白球的個(gè)數(shù)，即ξ({1,2})=2,ξ({1,3})=2,ξ({1,4})=1,ξ(

7、{1,5})=1,ξ({2,3})=2,ξ({2,4})=1,ξ({2,5})=1,ξ({3,4})=1,ξ({3,5})=1,ξ({4,5})=0}則ξ是隨機(jī)變量。隨機(jī)變量是我們今后研究的主要對(duì)象。有了隨機(jī)變量，對(duì)事件的研究變成對(duì)隨機(jī)變量的研究。今后，我們主要研究離散型隨機(jī)變量和連續(xù)性隨機(jī)變量。離散型隨機(jī)變量：一種試驗(yàn)結(jié)果ξ所可能取的值為有限個(gè)或至多可列個(gè)，我們能把其可能結(jié)果一一列舉出來，這種類型的隨機(jī)變量稱為離散型隨機(jī)變量。非離散型隨機(jī)變量：不是離散型隨機(jī)變量的隨機(jī)變量。常遇到的非離散型隨機(jī)變量是連續(xù)性隨機(jī)變量：可取某個(gè)區(qū)間內(nèi)的任何值的隨機(jī)變量。要研究隨機(jī)變量，

8、首先要掌握其在各個(gè)范圍的概率。為此，下面給出分布函數(shù)的概念。定義設(shè)ξ是一個(gè)隨機(jī)變量，稱函數(shù)F(x)=P{ξ≤x},x∈(?∞,+∞)為隨機(jī)變量ξ的分布函數(shù)，或ξ的分布。隨機(jī)變量的分布函數(shù)F(x)具有如下性質(zhì)：〈1〉F(x)是x的不減函數(shù)：若x