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1、第25卷第1期北京工商大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)Vol125No11682007年1月JournalofBeijingTechnologyandBusinessUniversity(NaturalScienceEdition)Jan.2007文章編號:1671-1513(2007)01-0068-06周期函數(shù)及其最小正周期侯文超(北京工商大學(xué),北京100037)摘要:研究了周期函數(shù)及其最小正周期的若干問題.全文分為三部份:第一部份是關(guān)于最小正周期的一般理論,得到了周期函數(shù)有最小正周期的充分必要條件,也獲得了/至少在一個點(diǎn)連續(xù)且不恒等于常數(shù)的周期函數(shù)必有最小正周期0的結(jié)論;第二部
2、份分析了兩個周期函數(shù)之和的最小正周期的問題,給出了其一般表達(dá)式;第三部份討論了周期函數(shù)與某些類型的非周期函數(shù)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)的非周期性問題,并得出相應(yīng)結(jié)論.關(guān)鍵詞:周期;最小正周期;公度;連續(xù)中圖分類號:O171文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A本文分為三部分:第一部分研究周期函數(shù)及其T1T1m有理數(shù).反之,若為有理數(shù),設(shè)=,其中m,最小正周期的一般理論;第二部分探求兩個周期函T2T2nT1T2數(shù)之和的最小正周期;第三部分討論有關(guān)復(fù)合函數(shù)n為整數(shù),m與T1同號,n與T2同號,令==mn的非周期性問題.D,則T1=mD,T2=nD,于是T1,T2可公度.為行文方便,本文中所說的周期函數(shù)都是定義引理
3、2若T1,T2都是函數(shù)f(x)的周期,則在全體實(shí)數(shù)范圍內(nèi),但各結(jié)果不難推廣到定義域不它們?nèi)我獾恼禂?shù)非零線性組合T=mT1+nT2是全體實(shí)數(shù)的情形.(m,n為整數(shù),TX0)也是函數(shù)f(x)的周期.證明f(x+mT1+nT2)=f(x+mT1)=1一般理論f(x).定理1設(shè)T1,T2為函數(shù)f(x)的兩個可公度為方便起見,對兩個實(shí)數(shù)(即使不是整數(shù))我們的正周期,D為其一公度,T1=mD,T2=nD,d=也使用整除這個術(shù)語.(m,n)為m,n的最大公約數(shù),則T0=dD也是定義1設(shè)a,b為兩個實(shí)數(shù)(bX0),如果存在f(x)的正周期.整數(shù)m,使得a=bm,則稱a可被b整除,或b整證
4、明由初等數(shù)論知存在整數(shù)x,y,滿足xm+除a,并記作b
5、a.yn=d,則有dD=xmD+ynD=xT1+yT2.由引定義2設(shè)T1,T2為兩個非零實(shí)數(shù).如果存在理2,dD也是f(x)的正周期.正實(shí)數(shù)D,D
6、T1,D
7、T2,則稱T1,T2可公度,D為推論設(shè)T1,T2為函數(shù)f(x)的兩個可公度的其一個公度;否則,稱為不可公度.正周期,則存在它們的一個公度D,D也是f(x)的引理1兩個非零實(shí)數(shù)T1,T2可公度的充分正周期.T1必要條件為為有理數(shù).實(shí)際上,定理1中的T0就可以取作這里的D.T28證明若T1,T2可公度,則存在正實(shí)數(shù)D及例如,對于函數(shù)f(x)=sin3x,T1=P與T2
8、=3T1mP整數(shù)m,n,使得T1=mD,T2=nD,于是=為4P皆為其周期,取T1,T2的公度D=,定理1中T2n3收稿日期:20061015作者簡介:侯文超(1937-),男,遼寧開原人,教授,主要從事經(jīng)濟(jì)預(yù)測和管理決策的教學(xué)與研究.第25卷第1期侯文超:周期函數(shù)及其最小正周期694而它卻沒有最小正周期.的m=8,n=12,d=4,于是T0=dD=P也是3定理3設(shè)T0是周期函數(shù)f(x)的最小正周f(x)的正周期.期,非零實(shí)數(shù)T是f(x)的周期的充分必要條件為由本例可以看出,定理1中的T0=dD不一定T0
9、T.是最小正周期.證明充分性顯然,現(xiàn)證必要性.設(shè)非零實(shí)數(shù)即使周期函數(shù)
10、不恒等于常數(shù),也可能有不可公T是f(x)的一個周期,不失一般性,無妨設(shè)T>0.度的正周期.例如,設(shè)A={m+n2
11、m,n皆為整由推論知T,T0是可公度的.再由定理1的推論,數(shù)}.定義函數(shù)存在T與T0的公度D,D也是f(x)的正周期.顯1當(dāng)xIA時f(x)=(1)然,D[T0,而T0是最小正周期,故亦有T0[D,0當(dāng)xI/A時,于是T0=D,這就表明T0
12、T.集合A中所有非零元素都是f(x)的周期.特別地,怎樣的周期函數(shù)有最小正周期呢?1與2都是f(x)的周期,它們是不可公度的.定理4周期函數(shù)有最小正周期的充分必要條定理2若周期函數(shù)f(x)有兩個不可公度的件是不存在趨向于0的
13、正周期序列.周期,則存在f(x)的一串正周期t1,t2,,,滿足證明必要性是明顯的.現(xiàn)證充分性.設(shè)周期t1>t2,>,,并且當(dāng)nv]時tnv0.函數(shù)f(x)沒有最小正周期,記T=inf{所有正周證明設(shè)T1,T2為函數(shù)f(x)的兩個周期,它期},T必不是f(x)的周期.于是存在一串f(x)的們不可公度.不妨設(shè)T1>T2>0,取t1=T1,t2=正周期T1,T2,,,Tn,,,使得T1>T2>,>T2,更設(shè)Tn>,,且nv]時TnvT.令Tcn=Tn-Tn+1t1=t2q1+t3(q1為整數(shù),0[t3
