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《數(shù)理統(tǒng)計4.3new》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、中心極限定理的研究背景：：：長期觀察表明，，，如果一個量是由大量的相互，如果一個量是由大量的相互獨立的隨機因素的影響造成的，，，而每一個個別因，而每一個個別因素在總影響中所起的作用都很微小，，，則這種量通，則這種量通常都服從或近似服從正態(tài)分布。。。這個結(jié)論的理論。這個結(jié)論的理論依據(jù)就是中心極限定理。。。概率論中有關論證獨立隨機變量的和的極限分布是正態(tài)分布的一系列定理稱為中心極限定理。。?！臁臁?.3中心極限定理獨立隨機變量和設設設{}xn為獨立隨機變量序列，，，記其和為，記其和為nhn=∑xii=1討論獨立隨機變量和的
2、的的極限分布的極限分布,指出極限分布為正態(tài)分布.1獨立同分布下的中心極限定理定理4.10林德貝格—勒維中心極限定理設設設xx,,L為獨立同分布隨機變量序列，，，數(shù)學，數(shù)學12期望為a,方差為ssss2>0，，，則當，則當n充分大時，，，有，有有有n????∑xk-na??t21x-k=12=F()xlimP?￡x?=∫edtn?￥n2-￥?s?p????定理的應用：：：對于獨立的隨機變量序列{xn}，，，不管，不管x(n=1,2,L)服從什么分布，，，只要它們是同分布，只要它們是同分布，，，n且有有限的數(shù)學期望和方差，
3、，，那么，那么，，，當，當當當n充分大時，，，這，這這這nx2些隨機變量之和∑i近似地服從正態(tài)分布Nnan(,s)i=1應用之例:正態(tài)隨機數(shù)的產(chǎn)生；；；誤差分析；誤差分析2例例例在某次數(shù)值計算的加法運算中，，，要求把每個加數(shù)取為，要求把每個加數(shù)取為最接近于它的整數(shù)來計算。。。設所有的取整誤差是相互獨。設所有的取整誤差是相互獨立的隨機變量，，，并且都在區(qū)間，并且都在區(qū)間[-0.5，，，0.5]上服從均勻分布布布，布，，，求求求求300個數(shù)相加時誤差總和絕對值小于10的概率。。。解解解設第i個加數(shù)的取整誤差為Xi（（（i=1
4、,2,………,300)，，，則，則則則Xi服服服從從從[-0.5，，，0.5]上的均勻分布，，，且，且且且21EX(i)=0s(Xi)=i=1,2,L,30012由于n=300相當大，，，由林德貝格，由林德貝格-勒維中心極限定理：：：300300∑Xi近似服從N(0,)即即即N(0,25)i=112所求概率300300P(
5、∑Xi
6、10)<=P(10-<∑Xi<10)i=1i=1300???∑Xi-0?-100-100-=?7、P22?25???=F2(2)1-??=′20.97721-=0.95443例例例一部件包括100部分，，，每部分的長度是一個隨機變，每部分的長度是一個隨機變量量量，量，，，相互獨立相互獨立，，，且具有同一分布，且具有同一分布。。。其數(shù)學期望是。其數(shù)學期望是1mm，，，標準差是0.1mm，，，規(guī)定總長度為，規(guī)定總長度為100±±±1mm時產(chǎn)品合格格格，格，，，試求產(chǎn)品合格的概率試求產(chǎn)品合格的概率。。。解解解設部件的總長度為X，，，每部分的長度為，每部分的長度為Xi（（（i=1,2,………,10)，，，則，則則則100EX
8、(i)1=s(Xi)=0.1X=∑Xii=1由定理4.10可知：：：X近似地服從正態(tài)分布2N(1001,1000.1′′)即即即N(100,1)續(xù)解則產(chǎn)品合格的概率為P{99￡X￡101}?101100-??99100-??F??-F???1??1?=F2(1)-1=′20.84131-=0.68264二項分布的正態(tài)近似定理4.9棣莫弗—拉普拉斯中心極限定理設設設mmmmn為服從二項分布b(n,p)的隨機變量，，，則當，則當n充分大時，，，有，有有有2t??mn-np??1x-limP?￡x?=∫edt2=F()xn?￥
9、??npq??2p-￥注意：：：這是林德貝格：這是林德貝格—勒維中心極限定理的特例.此定理表明：：：二項分布的極限分布是正態(tài)分布：二項分布的極限分布是正態(tài)分布定理的應用：：：若隨機變量：若隨機變量mn~(,)bnp，，，在求解概率，在求解概率pa(10、nnpqnpq5棣莫弗—拉普拉斯中心極限定理應用有三大類：：：i)已知n和和和x，，，求概率，求概率；；；ii)已知n和概率，，，求，求求求x；；；iii)已知x和概率，，，求，求求求n.例例例100個獨立工作的部件組成一個系統(tǒng)，，，每個部，每個部件正常工作的概率為0.9，，，當系統(tǒng)中至少有，當系統(tǒng)中至少有86個部件
