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1、作業(yè)第四章P2124.4(ii),(iii)P2134.7(ii)約束最優(yōu)化方法P2144.9(ii)4.11南京郵電大學(xué)數(shù)理學(xué)院楊振華制作yzhchina@yeah.net南京郵電大學(xué)數(shù)理學(xué)院楊振華制作yzhchina@yeah.net2凸集定義2.1.1設(shè)集合DR?n,若對于任意點x,y∈D,及實數(shù)α,0≤α≤1,都有αx+(1-α)y∈D,§2.1凸集與凸函數(shù)則稱集合D為凸集.常見的凸集:空集(補充定義),整個歐式空間Rn,超平面H={x∈Rn
2、a1x1+a2x2+?anxn=b}半空間H+={x∈Rn
3、a1x1+a2x2+?anxn≥b}南京郵電大學(xué)數(shù)
4、理學(xué)院楊振華制作yzhchina@yeah.net南京郵電大學(xué)數(shù)理學(xué)院楊振華制作yzhchina@yeah.net34凸集的例凸集的性質(zhì)例2.1.2超球
5、
6、x
7、
8、≤r為凸集(i)有限個(可以改成無限)凸集的交集為凸集.證明設(shè)x,y為超球中任意兩點,0≤α≤1,則有即:若Dj(j∈J)是凸集,則它們的交集
9、
10、αx+(1-α)y
11、
12、≤α
13、
14、x
15、
16、+(1-α)
17、
18、y
19、
20、D={x
21、x∈Dj,j∈J}≤αr+(1-α)r=r,是凸集.即點αx+(1-α)y屬于超球,所以超球為凸集.(ii)設(shè)D是凸集,β是一實數(shù),則下面集合是凸集βD={y
22、y=βx,x∈D}.南京郵電大
23、學(xué)數(shù)理學(xué)院楊振華制作yzhchina@yeah.net南京郵電大學(xué)數(shù)理學(xué)院楊振華制作yzhchina@yeah.net561推論凸集的線性組合是凸集.凸集的性質(zhì)k定義2.1.2設(shè)xi∈Rn,i=1,?,k,實數(shù)λi≥0,∑λi=1,ki=1(iii)設(shè)D1,D2是凸集,則D1與D2的和集則稱xx=∑λii為x1,x2,?,xk的凸組合.i=1D1+D2={y
24、y=x+z,x∈D1,z∈D2}是凸集.注:和集與并集有很大的區(qū)別,凸集的并集未必是凸集,而凸集的和集是凸集.例:D1={(x,0)T
25、x∈R}表示x軸上的點,D2={(0,y)T
26、y∈R},表示y軸上的
27、點.兩點的凸組合三點的凸組合多點的凸組合則D1∪D2表示兩個軸的所有點,它不是凸集;容易證明:凸集中任意有限個點的凸組合仍然D1+D2=R2是凸集在該凸集中.南京郵電大學(xué)數(shù)理學(xué)院楊振華制作yzhchina@yeah.net南京郵電大學(xué)數(shù)理學(xué)院楊振華制作yzhchina@yeah.net78極點極點定義2.1.3設(shè)D為凸集,x∈D.若D中不存在兩例D={x∈Rn
28、
29、
30、x
31、
32、≤a}(a>0),則
33、
34、x
35、
36、=a上的點個相異的點y,z及某一實數(shù)α∈(0,1)使得均為極點x=αy+(1-α)z證明:設(shè)
37、
38、x
39、
40、=a,若存在y,z?D及α?(0,1),使則稱x為D的極點.
41、得x=αy+(1-α)z.則a2=
42、
43、x
44、
45、2=＜αy+(1-α)z,αy+(1-α)z＞凸凸≤α2
46、
47、y
48、
49、2+(1-α)2
50、
51、z
52、
53、2+2α(1-α)
54、
55、y
56、
57、
58、
59、z
60、
61、集集≤a2不等式要取等號,必須
62、
63、y
64、
65、=
66、
67、z
68、
69、=a,且·y,zò=
70、
71、y
72、
73、
74、
75、z
76、
77、,極點極點容易證明y=z=x,根據(jù)定義可知,x為極點.南京郵電大學(xué)數(shù)理學(xué)院楊振華制作yzhchina@yeah.net南京郵電大學(xué)數(shù)理學(xué)院楊振華制作yzhchina@yeah.net910凸函數(shù)凸函數(shù)定義2.1.5設(shè)函數(shù)f(x)定義在凸集DR?n上,若定義2.1.4設(shè)函數(shù)f(x)定義在凸集DR?n上
78、,若對任意的x,y∈D,x≠y,及任意的α∈(0,1)都有對任意的x,y∈D,及任意的α∈[0,1]都有f(αx+(1-α)y)<αf(x)+(1-α)f(y)f(αx+(1-α)y)≤αf(x)+(1-α)f(y)則稱函數(shù)f(x)為凸集D上的嚴(yán)格凸函數(shù).則稱函數(shù)f(x)為凸集D上的凸函數(shù).將上述定義中的不等式反向,可以得到凹函數(shù)和嚴(yán)格凹函數(shù)的定義.南京郵電大學(xué)數(shù)理學(xué)院楊振華制作yzhchina@yeah.net南京郵電大學(xué)數(shù)理學(xué)院楊振華制作yzhchina@yeah.net11122凸函數(shù)的例凸函數(shù)的幾何性質(zhì)例2.1.3設(shè)f(x)=(x–1)2,試證明f(x
79、)在(–∞,+∞)上是嚴(yán)格凸函數(shù).對一元函數(shù)f(x),在幾何上αf(x1)+(1-α)f(x2)證明:設(shè)x,y∈R,且x≠y,α∈(0,1)都有(0≤α≤1)表示連接(x1,f(x1)),(x2,f(x2))的線段,f(αx+(1-α)y)-(αf(x)+(1-α)f(y))f(αx1+(1-α)x2)表示在點αx1+(1-α)x2處的函數(shù)=(αx+(1-α)y-1)2-α(x-1)2-(1-α)(y-1)2值,所以一元凸函數(shù)表示連接函數(shù)圖形上任意兩點的線段總是位于曲線弧的上方.=–α(1-α)(x-y)2<0因此f(x)在(–∞,+∞)上是嚴(yán)格凸函數(shù).例2.
80、1.4線性函數(shù)f(x)=cTx=c1x
