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《數(shù)理方程習(xí)題解答》由會員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、豎立方程習(xí)題解答習(xí)題一1習(xí)題二3習(xí)題三5習(xí)題四錯誤！未定義書簽。習(xí)題五錯誤！未定義書簽。習(xí)題1.1.41．導(dǎo)出弦受阻力的波動方程其中阻力與速度成正比，為常數(shù)．解我們考慮弦的一個微元。令為端點(diǎn)處的張力，如教材圖1.1所示，沿錘直方向作1用在這個微元上的力是,阻力為,由牛頓(Newton)第二定律，此合力等于質(zhì)量乘以加速度．因此(1)其中是密度，是微元弦的弧長．因?yàn)檫\(yùn)動弦的斜率是很小的，故有Δ≈Δsx.因角和也很小，所以我們有，，于是(1)式變成（2）但由微積分學(xué)我們知道，在時(shí)刻,,于是，方程(2)便可寫成令取極限，我們求得（3）其中2.設(shè)長度為的均勻彈性桿的線密度為，楊氏
2、模量為，試列出桿的微小縱振動方程。解考慮桿在無外力作用下的振動。取桿的一端為原點(diǎn)，干的方向?yàn)檩S建立坐標(biāo)系：則桿上各點(diǎn)在時(shí)刻的位移是。在桿上任取一段，其兩端點(diǎn)靜止時(shí)的坐標(biāo)為,此小桿段在時(shí)刻的相對伸長為：，令得點(diǎn)在時(shí)刻的相對伸長為uxt(,)，由Hooke定x律知張力為，再此小桿段上用Newton第二定律得兩邊同除并令得：若楊氏模量為為常數(shù)則得：。1牛頓(Newton)第二定律與動量守恒定律等價(jià)，也可以用動量守恒定律來見方程，見《數(shù)學(xué)物理方程講義》（姜禮尚、陳亞浙）P11習(xí)題1.2.4習(xí)題1.2.41設(shè)懸浮粒子由重力引起的沉淀速度是不變的，又假定在同一水平面上粒子的濃度是相
3、同的，試給出懸浮粒子的濃度所滿足的方程．解取豎直向下的方向?yàn)檩S，考慮介于平面之間，截面積為常數(shù)的柱體。質(zhì)量守恒關(guān)系為其中為這段時(shí)間內(nèi)柱體內(nèi)粒子質(zhì)量的增加，而為這段時(shí)間內(nèi)由于擴(kuò)散作用經(jīng)由柱體的上、下底面進(jìn)入柱體內(nèi)的粒子質(zhì)量，是由于沉淀經(jīng)柱體的上、下底面進(jìn)入柱體的粒子質(zhì)量。其中是擴(kuò)散系數(shù)。從而注意到與的任意性，由上式立即得2．沒有一厚為l的無限平面板，在其表面與溫度為的周圍介質(zhì)發(fā)生熱交換，如果板的溫度不隨其厚度而變化(即在垂直于板面的直線上的點(diǎn)的溫度均相同)，試給出板冷卻的初邊值問題。解取平面上任意一區(qū)域，在從到()這段時(shí)間內(nèi)考察柱體中熱量的平衡關(guān)系：其中為從到這段時(shí)間內(nèi)，
4、中溫度的變化所吸收的熱量，而與則分別為這段時(shí)間內(nèi)，通過由板內(nèi)其他部分流入的熱量以及通過上、下板面與周圍介質(zhì)的熱交換所獲得的熱量。不難計(jì)算得3數(shù)學(xué)物理方程習(xí)題解答從而所以其中。此外還有初始條件2于是得二維Cauchy問題2取垂直于板平面的方向?yàn)檩S，則在溫度依賴于的情況下，所討論的是由兩平面所界的無界區(qū)城內(nèi)的問題，邊界條件給在兩平面上，此時(shí)邊值問題為在溫度u不依賴于z的情況下，不能簡單地由三維方程得出u滿足二維熱傳導(dǎo)方程，因?yàn)槿魧⑺o問題當(dāng)作二維問題，則此時(shí)上、下板面與周圍介質(zhì)的熱交換不能再當(dāng)作邊界條件來處理，而應(yīng)考慮到方程中去。也就是說，邊界條件和方程不是截然分開的兩個不
5、同的東些，而是同一事物的不同表現(xiàn)方式。在齊次方程和非齊次方程、齊次邊界條件和非齊次邊界條件之間的轉(zhuǎn)換時(shí)，就會從數(shù)學(xué)上遇到此問題。4習(xí)題1.3.3習(xí)題1.3.31．(《數(shù)學(xué)物理方程講義》姜禮尚、陳亞浙P34,17)設(shè)11222Jv()=?++∫∫()
6、v
7、vdxaxvds()??∫fvdx∫gvds22Ω?ΩΩ?Ω其中ax()0≥?？紤]以下三個問題：1問題I(變分問題)：求uMC∈=Ω()使得Ju()min()=JvuM∈1問題II：求uMC∈=Ω()使得它對于任意vM∈都滿足∫∫()???+??uvuvfvdx+(axuv()?gvds)=0Ω?Ω21問題III(第三邊
8、值問題)：求uC∈()Ω∩C()Ω滿足以下邊值問題??Δ+uuf=x∈Ω???u?+=∈axug()x?Ω??n(1)證明問題I與問題II等價(jià)．21(2)當(dāng)uC∈()Ω∩C()Ω時(shí)，證明問題I、II、III等價(jià)．1證明設(shè)問題I(變分問題)成立，即uMC∈=Ω()使得Ju()min()=Jv，則對uM∈?∈εR
