有微觀聯(lián)系的股票擇好期權(quán)定價(jià)

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1、第３８卷第５期上海師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）Ｖｏｌ．３８，Ｎｏ．５２００９年１０月ＪｏｕｒｎａｌｏｆＳｈａｎｇｈａｉＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅｓ）２００９，Ｏｃｔ暢有微觀聯(lián)系的股票擇好期權(quán)定價(jià)何進(jìn)峰，任學(xué)敏（同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系，上海２０００９２）摘要：目前對于擇好期權(quán)的定價(jià)研究，大多沒有考慮原生資產(chǎn)收益率之間的微觀聯(lián)系，使得定價(jià)結(jié)果可能偏離真實(shí)價(jià)值．基于此考慮，給出了兩家具有微觀聯(lián)系的上市公司股票的數(shù)學(xué)模型，在此模型基礎(chǔ)上利用ｄｅｌｔａ對沖推導(dǎo)出擇好期權(quán)滿足的ＰＤＥ，通過計(jì)價(jià)單位轉(zhuǎn)換的方法求出擇好期權(quán)的定價(jià)公式，分

2、析了股票間微觀聯(lián)系對擇好期權(quán)的價(jià)格影響．關(guān)鍵詞：定價(jià)模型；微觀聯(lián)系；擇好期權(quán)中圖分類號：Ｆ８３０．９文獻(xiàn)標(biāo)識碼：Ａ文章編號：１０００-５１３７（２００９）０５-０４６４-０５０引言擇好期權(quán)是多資產(chǎn)期權(quán)的一種，其價(jià)格取決于多種原生資產(chǎn)價(jià)格的變化．股票擇好期權(quán)的持有人在到期日有權(quán)取得股價(jià)表現(xiàn)最好的那只股票．例如，某投資人擬投資股票A和股票B，但他無法肯定未來哪一只股票的回報(bào)更高．為此他購買一張擇好期權(quán)，確保在期權(quán)到期日能取得兩只股票的最佳回報(bào)，同時(shí)可以規(guī)避因只購買一只股票所帶來的風(fēng)險(xiǎn)．目前對于擇好期權(quán)的定價(jià)研究，大多只考慮原生資產(chǎn)收益率之間的宏觀相關(guān)

3、性，而忽視了它們可能存在的微觀的相關(guān)性，如上市公司之間互相持有股票，其股票價(jià)格必定相互影響，呈現(xiàn)齊漲共跌．忽略這種微觀的相關(guān)性，會使得定價(jià)結(jié)果可能偏離真實(shí)價(jià)值．文獻(xiàn)［３］給出了n個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)Si（i＝１，２，?，n）都遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)，且每個(gè)隨機(jī)元ｄWi（i＝１，２，?，n）互相獨(dú)立情形下的擇好期權(quán)的模型和定價(jià)公式．該模型并未考慮到股票之間可能存在的微觀聯(lián)系對擇好期權(quán)價(jià)格的影響．基于此考慮，本文作者給出了兩家具有微觀聯(lián)系的上市公司的股票的數(shù)學(xué)模型，同時(shí)考慮股票的宏觀和微觀相關(guān)性，并應(yīng)用于擇好期權(quán)的定價(jià)問題．運(yùn)用無套利原理推導(dǎo)出兩資產(chǎn)擇好期權(quán)所滿足的

4、方程，并給出擇好期權(quán)的定價(jià)公式．１模型的建立r為無風(fēng)險(xiǎn)利率，Si（t）（i＝１，２）是兩家上市公司發(fā)行的股票價(jià)格，若忽略股票之間的微觀聯(lián)系，則可假定其遵循如下幾何Ｂｒｏｗｎ運(yùn)動(dòng)：ｄS１t＝μ１ｄt＋σ１ｄW１S１．（１）ｄS２t＝μ２ｄt＋σ２ｄW２S２收稿日期：２００９-０５-１２基金項(xiàng)目：國家“９７３”重點(diǎn)基礎(chǔ)研究計(jì)劃資助項(xiàng)目（２００７ＣＢ８１４９０３）；國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（１０４７１１０６；１０６７１１０３）．作者簡介：何進(jìn)峰（１９８５－），男，同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系碩士研究生；任學(xué)敏（１９６２－），男，同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系副教授．第５期何進(jìn)峰，任

5、學(xué)敏：有微觀聯(lián)系的股票擇好期權(quán)定價(jià)４６５t其中μi（i＝１，２）是第i只股票的期望收益率；σi（i＝１，２）是第i只股票的波動(dòng)率；Wi（i＝１，２）是tt標(biāo)準(zhǔn)Ｂｒｏｗｎ運(yùn)動(dòng)，相關(guān)系數(shù)為ρ＝ｃｏｖ（ｄW１，ｄW２）．考慮股票之間的微觀聯(lián)系，即第一只股票的收益率會受第二只股票收益率的影響，反之亦然．在模型（１）中加入股票之間的微觀影響，那么股票價(jià)格遵循如下模型：ｄS１tｄS２＝μ１ｄt＋σ１ｄW１＋ε１S１S２．（２）ｄS２tｄS１＝μ２ｄt＋σ２ｄW２＋ε２S２S１ｄS２ｄS１ε１，ε２為微觀影響因子，ε１為第２個(gè)股票收益率對第１個(gè)股票收益率的影響

6、項(xiàng)，ε２為第１個(gè)股票收S２S１益率對第２個(gè)股票收益率的影響項(xiàng)．例如，A公司持有B公司一定數(shù)量股份，B公司的股票價(jià)格上漲會致使A公司盈利增加，從而A公司股票價(jià)格相對增大．B公司股票收益率對A公司股票收益率的微觀影響因子由A公司持有B公司股份數(shù)量，A公司股份結(jié)構(gòu)共同決定．對（２）式變形可得：ｄS１μ１＋ε１μ２σ１tε１σ２t＝ｄt＋ｄW１＋ｄW２S１１－ε１ε２１－ε１ε２１－ε１ε２．（３）ｄS２μ２＋ε２μ１ε２σ１tσ２t＝ｄt＋ｄW１＋ｄW２S２１－ε１ε２１－ε１ε２１－ε１ε２μ１＋ε１μ２μ２＋ε２μ１σ１ε１σ２ε２σ１令μ′１＝，

7、μ′２＝，σ１１＝，σ１２＝，σ２１＝，１－ε１ε２１－ε１ε２１－ε１ε２１－ε１ε２１－ε１ε２σ２σ２２＝，則（３）式化簡為：１－ε１ε２ｄS１tt＝μ′１ｄt＋σ１１ｄW１＋σ１２ｄW２S１．（４）ｄS２tt＝μ′２ｄt＋σ２１ｄW１＋σ２２ｄW２S２tt由ρ＝ｃｏｖ（ｄW１，ｄW２），（４）式可表示為：ｄS１＝μ′１ｄt＋γｄW１S１，（５）ｄS２＝μ′２ｄt＋δｄW２S２２２２２其中γ＝σ１１＋２ρσ１１σ１２＋σ１２，δ＝σ２１＋２ρσ２１σ２２＋σ２２，Wi（i＝１，２）是標(biāo)準(zhǔn)Ｂｒｏｗｎ運(yùn)動(dòng)．設(shè)V是基于股票價(jià)格S１，S２的歐式擇好

8、期權(quán)價(jià)格，它是３個(gè)變量S１，S２，t的函數(shù)：V＝V（S１，S２，t）．（６）［３］構(gòu)造投資組合Π：Π＝V（S１，S２，t）－Δ１S１－Δ