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《數(shù)值分析第四講new》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、第四章方陣的特征值和特征向量由線性代數(shù)知，對于n階方陣A，若存在常數(shù)?和n維非零向量x，滿足Ax=?x，則稱?為A的一個(gè)特征值，稱x為A的?所對應(yīng)的特征向量。本章將討論幾種常用的計(jì)算矩陣特征值及特征向量的數(shù)值方法,并只限A是實(shí)矩陣的情況.第一節(jié)冪法和反冪法4.1.1冪法冪法主要用于求矩陣按模最大的特征值和對應(yīng)的特征向量.設(shè)A具有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量x,x,…,x,其相應(yīng)的特征12n值?,?,…,?滿足：12n
2、?
3、?
4、?
5、?
6、?
7、???
8、?
9、,(4.1)123n現(xiàn)任取一非零向量u令0u?Au,k?1,2,?(4.2)kk?1?1?結(jié)束得向量序
10、列{u},k=0,1,2,…k因x,x,…,x線性無關(guān),故n維向量u必可由它們線性表示：12n0u??x??x????x01122nn2ku?Au?Au???Aukk?1k?20kkk??Ax??Ax????Ax1122nnkkk???x???x?????x111222nnnk???2?k??n?k????x??x????x(4.3)1112?2n?n11?2?1,?,?n?1設(shè)α1≠0,當(dāng)k充分大時(shí),?1?1ku???x不是零向量,則u可近似地作k111k為?對應(yīng)的特征向量.1?2?結(jié)束實(shí)際計(jì)算時(shí),為防止u的模過大或過小,以致產(chǎn)生計(jì)算機(jī)運(yùn)算的
11、上下k溢出,通常每次迭代都對u進(jìn)行歸一化,使║u║=1,因此以上冪法kk∞公式改進(jìn)為：??yk?1?uk?1uk?1??(4.4)??u?Ayk?1,2,?kk?1此時(shí)有
12、?
13、=║u║，?的符號由如下原則確定：當(dāng)相鄰兩次的1k∞1u和u對應(yīng)分量符號相同,取?的符號為正；符號相反則為負(fù).編制kk-11程序可采用如下算法：對A，任取非零向量u,對k=1,2,…執(zhí)行以下各步驟：n×n01)
14、a
15、?max
16、a
17、,a是u的分量,riik?11?i?n2)y?u
18、a
19、,k?1k?1r3)u?Ay,kk?14)t?sgn(a)?(u),krkr5)若
20、t-t
21、
22、
23、此種可能.?4?結(jié)束2.我們假設(shè)在(4.3)中α≠0,這在選擇u時(shí),也無法判斷,但這10往往不影響冪法的成功使用.因?yàn)槿暨xu,使α=0,由于舍入誤01差的影響,在迭代某一步會(huì)產(chǎn)生u,它在x方向上的分量不為零,k1這時(shí)以后的迭代仍會(huì)收斂.3.我們假設(shè)了
24、?
25、?
26、?
27、?
28、?
29、???
30、?
31、,123n若不具此條件,可能出現(xiàn)的情況有：(1)???????,
32、?
33、?
34、?
35、???
36、?
37、,12r1r?1n(2)????;12(3)???;12對情況(1),歸一化冪法(4.4)仍適用,但選擇不同的u得到的特0征向量u是不同的.對情況(2)和(3)情況較復(fù)雜,(4
38、.4)得到的k序列不收斂,但可從序列中看出規(guī)律,推算出?,?,在正常情12況下,冪法編程很簡單,但由于以上例外情況的存在,一個(gè)完善的冪法程序就很難實(shí)現(xiàn)了.?5?結(jié)束4.1.3反冪法由Ax=?x易推得A-1x=(1/?)x,若有iiiiii
39、?
40、?
41、?
42、?
43、?
44、???
45、?
46、,123n則1/?是A-1的按模最大的特征值,我們只要求出A-1的按模最大n的特征值,也就求出了A的按模最小的特征值.為了避免求逆陣,我們用解方程組的方法構(gòu)造如下算法：對任意初始向量u作:0?y?uuk?1k?1k?1?k?1,2,?從Au?y中解出u?kk?1k例2求例1中矩
47、陣A的按模最小特征值及相應(yīng)特征向量計(jì)算結(jié)果如表4-2.取??t=-1.000,x?y=(-0.5,-1,-0.0001854)T31039?6?結(jié)束4.1.4原點(diǎn)平移加速技術(shù)從以上的討論知,冪法的收斂速度主要由比值
48、?/?
49、確定.當(dāng)這12個(gè)比值接近于1,即
50、?
51、和
52、?
53、很接近時(shí),收斂將極慢,一個(gè)補(bǔ)救12的方法是原點(diǎn)平移加速.設(shè)矩陣B=A-tI,t為選擇的平移量.設(shè)A的特征值為?,不難證明iB的特征值應(yīng)為?-t,且A,B的特征向量相同.i適當(dāng)選擇t,使?-t仍是B的按模最大特征值,且1??t?22?,??t?11這時(shí)對B用冪法,求?-t,比直接對
54、A求?要快.而求出?-t自然也111就求出了?.1問題的關(guān)鍵在如何選擇合適的t,既能較明顯提高收斂速度,又不致于求出的是另一個(gè)特征值.?7?結(jié)束在實(shí)際
