對一類軌跡問題的探究

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1、萬方數(shù)據(jù)50數(shù)學(xué)通報2015年第54卷第2期對一類軌跡問題的探究寇恒清(上海市黃浦區(qū)教育學(xué)院200023)l問題的提出在“圓錐曲線”一章中，我們研究過平面內(nèi)到兩個定點的距離的和、差、商為定值的點的軌跡．這里還有“積”沒有研究，為此我們提出如下的問題1．問題1平面內(nèi)到兩個定點A，B的距離的積為常數(shù)的點P的軌跡是什么曲線?2問題的探究在解析幾何中我們研究曲線的一般方法是先建立曲線的方程，然后根據(jù)曲線的方程來研究曲線的性質(zhì)并畫出曲線．令I(lǐng)ABl=2c(c>o)，lPAl與lPBI的乘積為口2(n>o)，以直線AB為工軸，線段AB的中垂線為

2、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，可知A(一c，o)，B(f，O)，設(shè)P(z，y)，則由lPAl·IPBI=口2，可得~／(T+c’)2+y2·~／(T—f)2+y2=口2，化簡得(z2+y2+f2)2—4f2丁2=口4，它就是所求軌跡的方程．那么上述軌跡方程表示什么圖形呢?這是一個四次方程，它表示的曲線不是我們所熟悉的二次曲線．對于這個陌生的曲線，我們先研究一下它具有哪些性質(zhì)．首先，容易得到上述軌跡關(guān)于z，y軸對稱，也關(guān)于原點對稱．其次，我們看一下曲線的范圍．先確定z的取值范圍．把方程(z2+y2+f2)2—4c222=口4化為y2一~／口

3、4+4c222一(z2+f2)，可得~／口4+4f222一(z2+c2)≥o，解得f2一口2≤z2≤c2+口2當(dāng)c≤n時，z的取值范圍是[一~／c2+口2，石回；當(dāng)c>口時，z的取值范圍是[一~／c2+口2，一~／c2一口2]U[~／c2一口2，~／c2+口2]．再確定y的取值范圍．把方程(z2+y2+f2)2—4c222一口4化為z4+2(y2一f2)z2+(y2+f2)2一口4=0，令丁2=￡，可知方程￡2+2(y2一c2)￡+(y2+f2)2一n4一。有非負(fù)解，f(v2+c2)2一口4>0，所以(y2+f2)2一口4

4、一4n4—16y2f2≥o，【f2一y2≥0．當(dāng)nm時。y的取值范圍是[一丟，丟]；當(dāng)n>厄c時，y的取值范圍是[一√F了，~／口2一f2]．下面我們可以列表并用描點法作出曲線．為簡化作圖過程，我們直接利用GeoGebra軟件來作出方程(丁2+y2+f2)2—4f2T2一口1的曲線．為便于呈現(xiàn)動態(tài)變化過程，我們設(shè)置滑桿n(口∈(o，5])，取c=2，然后輸入相應(yīng)方程，即可得出方程的曲線．根據(jù)這些圖形可以進一步驗證前面得到的結(jié)論，也可以發(fā)現(xiàn)一些新的結(jié)論．：戶貴yI．一上．一一j=一一一一???一l?嚴(yán)至、二犍．．。：?：—鰣一一一圈l

5、4．萬方數(shù)據(jù)2015年第54卷第2期數(shù)學(xué)通報51n=2．1，以一2，(￡=1．8時的截圖．當(dāng)n的值從4變到1．8的過程中，圖形的變化恰似一個細(xì)胞分裂成兩個細(xì)胞的過程(多么奇妙啊!)．蔓資一：I忙衛(wèi)：蕃杰j≮：：：Z；==：：p寺!圖2～底一．兀式。一一驀么∑一∑戶‘寺!圖3：戶寺：1．J柵J拓一一—n一一：一一_專，；，孑—·—-{k：j≤一一一一!煳?二．一㈦．：一jJ氣E曰J氣廚：歸’寺：圈4上述曲線實際是是數(shù)學(xué)史上著名的卡西尼卵形線(Cassinian0vals)，通過上述研究過程，學(xué)生既可以感受數(shù)學(xué)的魅力，同時也能進一步領(lǐng)悟

6、解析幾何的基本思想與研究方法．3問題的變式與拓展若將問題1中的“到兩點距離”改為“到一點距離與到一直線距離”，則可得如下的問題2．問題2平面內(nèi)到一點A與一直線z距離乘積為常數(shù)的點P的軌跡是什么曲線?以A為坐標(biāo)原點，過A且與z垂直的直線作為z軸，建立平面直角坐標(biāo)系．設(shè)P(z，了)，直線z的方程為z—c，點P到點A的距離與點P到直線Z的距離的乘積等于常數(shù)口z(口>o)，則~／≯+了2·lz—fI=n2，兩邊平方可得(工2+，)(z—f)2一口4，這就是點P的軌跡方程．這也是一個四次方程，它表示什么曲線呢?我們先研究它的簡單性質(zhì)．當(dāng)f—o

7、時(點A在直線Z上)，顯然曲線關(guān)于一4T，y與原點對稱；此時方程可化為y2一≥一T2，．4由y2一蘭一T2≥o，可得z∈[一Ⅱ，口]，y∈R．當(dāng)c≠o時(點A不在直線z上)，曲線關(guān)于z，．4軸對稱；此時方程可化為y2一南一z2，由y2≥O，可得一口2≤T(T—f)≤口2且z≠c，當(dāng)c2—4口2≤o時，可得z的取值范圍是[孕當(dāng)c2—4口2>0時，可得z的取值范圍是c)U(f'平]．下面我們直接利用GeoGebra軟件來作出方程的曲線．圖5是口一1，c—O的情形，圖6是口=0．9，f一2的情形；圖7是口一1，f一2的情形；圖8是口一1．

8、2，f一2的情形．／；。＼＼。／j圖5，√2I‘幣·l＼ⅥJ．1·-2。圖6顯然，方程的曲線有且只有一條漸近線，其方程為z—c，它也是曲線的一條分割線(與曲線無公共點且將曲線分成兩部分的直線)．當(dāng)c2—4n2≤o時，它是曲線的唯一一條