第06講 微分方程及其應(yīng)用

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1、第六講微分方程及其應(yīng)用考試內(nèi)容常微分方程的基本概念變量可分離的方程齊次微分方程一階線性微分方程伯努利（Bernoulli）方程全微分方程可用簡單的變量代換求解的某些微分方程可降階的高階微分方程線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理二階常系數(shù)齊次線性微分方程高于二階的某些常系數(shù)齊次線性微分方程簡單的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程歐拉（Euler）方程微分方程簡單應(yīng)用.數(shù)3：差分與差分方程的通解與特解,一階常系數(shù)差分方程的簡單應(yīng)用.考試要求1．了解微分方程及其解、階、通解、初始條件和特解等概念．2．掌握變量可分離的方程及一階線性方程的解法

2、．3．會(huì)解齊次方程、伯努利方程和全微分方程，會(huì)用簡單的變量代換解某些微分方程4．會(huì)解可降階方程：yfxyfx′′==(),′′(,)y′和yfy′′′=(,)y.．5．理解線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理．6．掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法，并會(huì)解某些高于二階的常系數(shù)齊次線性微分方程。7．會(huì)解自由項(xiàng)為多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)，以及它們的和與積的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程．8．會(huì)解歐拉方程．9．會(huì)用微分方程解決一些簡單的應(yīng)用問題．?dāng)?shù)3：了解差分與差分方程的通解與特解等概念,一階常系數(shù)差分方程的求解.16.1常

3、微分方程的基本概念ò微分方程：包含未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程式稱為微分方程ò微分方程的階:方程中最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)稱為該微分方程的階.n階微分方程的一般表示:(n)(1n?)yf=(,,,...,xyyy′)ò微分方程的解:滿足微分方程的函數(shù)，稱為該方程的解ò通解:n階微分方程的包含n個(gè)獨(dú)立任意常數(shù)的解，稱為其通解n階微分方程(n)(1n?)yf=(,,,...,xyyy′)的通解為:顯函數(shù)形式：y()xx=?(,,,...,ccc),12n或隱函數(shù)形式Φ=(,,,,...,xyccc)0.12n不是通解的微分方程的解,稱為微分方

4、程的特解ò初值問題:對(duì)n階微分方程,附加n個(gè)定解條件如下,即?()n=′(1n?)?yf(,,,...,xyyy)?()n?1n?1??yx()00==y,,"y()x00y稱為初值問題,這樣的定解條件稱為初值條件.ò微分方程的可解類型:其解可用固定方法求出，并用初等函數(shù)或其積分表示的一類方程ò線性線性方程:所含未知函數(shù)y及其各階導(dǎo)數(shù)都是一次的方程,稱為線性微分方程,否則稱為非線性微分方程.n階線性常微分方程的一般形式為nn?1dydydy+a()x+...+a()x+a()xy=f(x),nn?1n?110dxdxdx其中系數(shù)

5、axi(),=?0,1,...,n1,以及自由項(xiàng)f()x,都是已知函數(shù).i2?x例6.1下列四個(gè)函數(shù):y(x)=Ce+1,y(x)=C,1122y(x)=y(x)+y(x),y(x)=y(x)+y(x)?x,312412其中C,C為任意常數(shù)，是否是下列方程：122(1)y′=2x()1?y;(2)xy′′?(1?2x)y′=0;222(3)xy′′?(1?2x)y′=1?2x.之解？若是解，是什么解？解：根據(jù)解的概念，用直接代入驗(yàn)證可知：y(x)是方程(1)的通解；1當(dāng)C=1時(shí)，y(x)是方程(2)的一個(gè)特解；22y(x)和y(

6、x)都是方程(2)的解,12y(x)是方程(2)的通解；y(x)是方程(2)的通解.3432?y′=x+xy例6.2若y()x是初值問題?之解,試確定y()x的增減?y()0=0區(qū)間，極值點(diǎn)及凸凹區(qū)間。22??↑≥?y′=x()x+y?y′≥0,ifx≥0yi,0fx解：??????y()0=0?y′<0,ifx<0??yi↓<,0fx?Minyx()==y(0)0?xR∈??;??yx()≥?∈0,xR2222423?y′′=x+y+x()2x+yy′=3x+y+xy+xy≥0，?是下凸的函數(shù)。?x例6.3設(shè)y=e,y=2x,

7、是微分方程y′′′+ay′′+by′+cy=012的兩個(gè)解,其中a,b,c是常數(shù)，則a,b,c的值分別為.BA.a=2,b=1,c=0;B.a=1,b=0,c=0;C.a=1,b=0,c=1;D.a=?1,b=0,c=0.??10+?+=abc?x解1：y=e,y=2x是解??12?220bc+≡x?abc?+=1???===acb1,0,0.?cb==0,0解2：y′′′+ay′′+by′+cy=0是三階線性常系數(shù)齊次方程.?xy=e,y=2x為其解?其3個(gè)特征根是:?1,0,01232?其特征方程是:λλ(1+=)0?其微分

8、方程是:yy′′′+=′′0?===acb1,0,0.2x?xy′′+3xy′=1?e例6.4已知函數(shù)y=y(x)滿足條件??y(0)=y′(0)=02要使y(x)≤Ax,?x≥0,則A=?22解1:要使y(x)≤Ax,?x≥0,設(shè)f(x)=Ax,因yf(0)=