3.1 中值定理

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1、第三章微分中值定理與導數(shù)的應用羅爾定理中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理研究函數(shù)性質(zhì)及曲線性態(tài)導數(shù)的應用研究和解決一些實際問題暨南大學電氣信息學院蘇保河主講第三章第一節(jié)微分中值定理與導數(shù)的應用中值定理主要內(nèi)容一、羅爾(Rolle)定理二、拉格朗日中值定理三、柯西(Cauchy)中值定理暨南大學電氣信息學院蘇保河主講一、羅爾(Rolle)定理費馬(fermat)引理費馬(1601–1665)法國數(shù)學家,他是一位律師,數(shù)學只是他的業(yè)余愛好.他興趣廣泛,博覽群書并善于思考,在數(shù)學上有許多重大貢獻.他提出的費馬大定理:nnn“當n>2時,方程x+y=

2、z無整數(shù)解”至今尚未得到普遍的證明.他還是微積分學的先驅(qū),費馬引理是后人從他研究最大值與最小值的方法中提煉出來的.暨南大學電氣信息學院蘇保河主講費馬(fermat)引理y=f(x)在∪(x0)有定義,f′(x0)=0且f(x)≤f(x0),f′(x0)存在(或≥)證:∵?x∈∪(x0),f(x)≤f(x0),fxfx()?()且fx′()=lim0存在,0xx→0xx?0y?f?′(x0)≥0()xx→0,y=f(x)+f+′(x0)≤0()xx→0,ox0xfx′()00=.證畢暨南大學電氣信息學院蘇保河主講羅爾(Rolle)定理如果y=f(

3、x)滿足:(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),y(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導,y=fx()(3)f(a)=f(b),則至少存在一點ξ∈(,),aboabx使′()=0.ξfξ證:∵f(x)在[a,b]上連續(xù)，故在[a,b]上取得最大值M和最小值m.暨南大學電氣信息學院蘇保河主講羅爾(Rolle)定理如果y=f(x)滿足:(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導,(3)f(a)=f(b),則至少存在一點ξ∈(,),ab使f′(ξ)=0.(1)若M=m,則f(x)≡M,x∈[a,b],故?∈ξ(,),()0.abf′ξ=(2)若

4、M>m,則M和m至少有一個與端點值不等,不妨設(shè)M≠f(a),則至少存在一點ξ∈(,),ab使f(ξ)=M,aξbx則由費馬引理得f′(ξ)=0.暨南大學電氣信息學院蘇保河主講羅爾(Rolle)定理如果y=f(x)滿足:(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導,(3)f(a)=f(b),則至少存在一點ξ∈(a,b),使f′(ξ)=0.注意定理條件不全具備,結(jié)論不一定成立.例如:y?xx,0≤<1,fx()=??0,x=1.o1xyyfx()=x,fxx()=,x∈?[1,1].?1o1xx∈[0,1].o1x暨南大學電氣信息

5、學院蘇保河主講例1設(shè)f(x)在[0,a]上連續(xù),在(0,a)內(nèi)可導,且f()0,a=證明至少存在一點ξ∈(0,a),使f(ξ)+ξf'(ξ)=0.F'()ξ證:令F(x)=xf(x),x∈[0,a].顯然,F(x)在[0,a]上連續(xù),在(0,a)內(nèi)可導,且F(0)=Fa()=0,由羅爾定理,至少存在一點ξ∈(0,a),使F'()ξ=ff()ξ+ξξ'()0.=暨南大學電氣信息學院蘇保河主講例2.若f(x)可導,試證在f(x)的兩個零點之間一定有f()xfx+′()的零點.[思路設(shè)f(x1)=f(x2)=0,x1

6、,使ff()ξ+′()0,ξ=只要證ξ()+ξ′()=0efξefξx亦即[()efx]′=0]x=ξ證:設(shè)f(x1)=f(x2)=0,x1

7、,1]上滿足羅爾定理條件,因此存在ξ∈(0,1),使nn?1使?′()ξ=nfξ()ξξξ+f′()0,=即nf()ξ+ξξf′()0.=證畢暨南大學電氣信息學院蘇保河主講5在(0,1)內(nèi)有且僅有一個根.例4證明x?5x+1=0證1)存在性5設(shè)f(x)=x?5x+1,則f(x)在[0,1]上連續(xù),并且f(0)=1,f(1)=?3,根據(jù)零點定理可知,至少存在一點x0∈(0,1),使f(x0)=0,即方程在(0,1)至少有一個根.2)唯一性(用反證法)0x0x11x設(shè)另有x1∈(0,1),x1≠x0,不妨設(shè)x1>x0,使f(x1)=0.∵fx()[

8、,]在xx01上滿足羅爾定理的條件,∴在(,)x01x(?(0,1))內(nèi)至少存在一點ξ,使f′(ξ)=0.4但f′(x)=5(x?1)<0,x∈(0,