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1、第二章Schro&&dinger方程§2.1Schro&&dinger方程Schro&&dinger方程是非相對論量子力學(xué)的基本方程，是公設(shè)，其正確性只能由它導(dǎo)出的結(jié)論和實驗是否符合來檢驗。下面只是去理解它。無外場的自由粒子波函數(shù)為irrr()p?r?Etψ()r,t=Cehv2pr由于E=，這個ψ()r,t表達式顯然滿足下面形式的波動方程2m()r,r?2r?ψrtpih=ψ()r,t?t2m這就是自由微觀粒子的Schro&&dinger方程。我們可以用一種簡明的公設(shè)性程式，即“一次量子化”的方
2、法直接“得到”這個方程：r2p將經(jīng)典物理學(xué)關(guān)于自由粒子能量的等式E=，按以下對應(yīng)替換2m為量子算符?rrE→ih,p→p?（2.1a）?tr并將所得的量子算符方程作用到系統(tǒng)的狀態(tài)波函數(shù)ψ()r,t上即可。r對于有外場V()r的情況，按經(jīng)典物理學(xué)，系統(tǒng)的總能量為r2prE=+V()r。為了轉(zhuǎn)換到對應(yīng)的量子系統(tǒng)，仍采用上述“一次量子2m化”的程式：25Ei→→→h?,,ppVrrrrr??()Vr?()（2.1b）?tr再將所得到的算符方程作用到波函數(shù)ψ()r,t上，就得到與此經(jīng)典系統(tǒng)對應(yīng)的量子系統(tǒng)的
3、Schro&&dinger方程：()r,?r?2r?r?ψrtpih=?+V()()r?ψr,t(2.2)?t?2m???rrrrr22prhr這里用了方程V?(r?)ψ()()()r,t=Vrψr,t。通常記+V()r=?Δ+V()r=H?，2m2m稱為這個量子系統(tǒng)的哈密頓量算符，簡稱為系統(tǒng)的哈密頓量。于是非相對論量子系統(tǒng)Schro&&dinger方程可寫為v??ψ()r,tv?ih=Hψ()r,t??t(2.3)vv?ψ()r,t=f()r?t=0vv其中ψ()()r,0=fr為給定的初始條件
4、，如果需要再配以適當?shù)倪吔鐥l件，便是一個完整的非相對論量子力學(xué)問題。這里應(yīng)當指出三點：第一，這里“一次量子化”程式只是一種理解，不是嚴肅的邏輯論證。雖然在理解方程中用到了第一、第二公設(shè)，實質(zhì)上方程仍然是一個獨1立公設(shè)，它們共同代表著由經(jīng)典力學(xué)向量子力學(xué)的邏輯飛躍。r第二，對復(fù)雜的經(jīng)典系統(tǒng)，比如勢V中還含有動量p時，在一次量子化過程中，一個經(jīng)典力學(xué)量表達式可能對應(yīng)幾個量子算符表達式。它rr們之間差別僅在于其中r?和p?的排列順序不同。例如22一次量子化222222xpx????→??p,,,,,x?
5、????pxpxp???xpx????pxpp????xpxxxxxxxxxxx這在前章的流密度算符中已經(jīng)出現(xiàn)過。對于這個從經(jīng)典向量子過渡中2算符順序的問題，存在一些普遍的對應(yīng)規(guī)則。但歸根結(jié)底，對應(yīng)辦1除了測量公設(shè)和全同性原理公設(shè)。全同性原理公設(shè)在兩體或多體問題以及“二次量子化”方法中才用到。2比如可見：C.J.Isham，“LecturesonQuantumTheory——MathematicalandStructuralFoundations”。26法是否正確要由實踐來檢驗。r第三，若V=V(
6、)r,t，便是經(jīng)典的含時系統(tǒng)。對應(yīng)成為量子系統(tǒng)時，由于V中含有時間參數(shù)，量子系統(tǒng)的哈密頓量H?=H?()t含時，成為含時量子系統(tǒng)，表明粒子在時變勢場的運動中與外界有能量交換，粒子機械能一般不守恒，相應(yīng)問題稱為非定態(tài)問題?！?.2Schro&&dinger方程基本性質(zhì)討論這里分幾點討論一下Schro&&dinger方程的一般性質(zhì)。1,量子態(tài)疊加原理與方程的線性性質(zhì)“量子態(tài)疊加原理”主張：如果ψ和ψ是系統(tǒng)的兩個狀態(tài)，則12它們的任意復(fù)系數(shù)的線性組合ψ=αψ+αψ，也必定是系統(tǒng)的一個可1122能狀態(tài)。后
7、繼量子理論表明，Schro&&dinger方程是一個已經(jīng)作了“低能近似”和“外場近似”的近似方程。前者排除了反粒子的影響，后者排除了粒子間相互作用中相互反饋、相互影響。于是Schro&&dinger方程就成了對ψ的線性形式。這里需要強調(diào)指出兩點：1）量子態(tài)疊加原理是量子力學(xué)狀態(tài)公設(shè)的一部分，它主張：整個量子系統(tǒng)的狀態(tài)空間都必須是線性空間。這與量子系統(tǒng)的動力學(xué)演化方程是否線性并無關(guān)聯(lián)；2）量子態(tài)疊加原理和經(jīng)典波疊加概念有著本質(zhì)上的不同。這里ImperialCollegePress，1998。27是d
8、eBroglie波——一種特殊的概率幅波的疊加原理。因此，在諸如：測量突變（波包塌縮），單次測量結(jié)果原則上的不確定性，每次測量所得力學(xué)量數(shù)值均是本征值等問題上均明顯不同于經(jīng)典理論的波疊加概念。此外，這一原理還有著更深刻的內(nèi)涵。第十二章中將表明，它會導(dǎo)致多粒子體系中的量子糾纏現(xiàn)象，以及任意未知量子態(tài)的不可克隆定理。2,概率流密度與概率的定域守恒對Schro&&dinger方程取復(fù)數(shù)共軛，于是得兩個方程r2??ψ()rt,hrr?irh=?Δψψ(),,t+V()rt??tm2?r?2
