淺析數(shù)學分析中的反例new

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1、萬方數(shù)據(jù)第25卷第8期2009年8月赤峰學院學報(自然科學版)JournalofChifengUniversity(NaturalScienceEdition)VoL25No．8Aug．2009淺析數(shù)學分析中的反例劉榮輝，王彥(大慶師范學院數(shù)學系，黑龍江大慶1637123)摘要：主要論述了反例在數(shù)學分析中的作用，如能夠加強學生對基本概念、定理的理解和掌握，能夠打破習慣的思維定勢，能夠促進思考擴大知識面．同時還論述了反例的幾個構造方法．關鍵詞：數(shù)學分析；極限；連續(xù)；導數(shù)中圖分類號：017文獻標識碼：A文章編號：1

2、673—260X(2009)08—0014—02在數(shù)學中，對一個命題的正確性，須要經(jīng)過嚴格的證明，但要證明一個命題為假，只要舉出一個反例即可．所謂反例，通常是指用來說明某個命題不成立的例子，也稱為與命題相矛盾的特例，它是用已知為真的事實去揭示另一判斷的虛假性．數(shù)學分析是數(shù)學專業(yè)的一門重要基礎課，概念定理比較多，許多學生不能準確掌握概念的本質，無法正確運用數(shù)學分析中的有關概念和定理來分析問題解決問題．因此，在學習中如果能恰當?shù)厥褂梅蠢齺韼椭覀兝斫庵R，不僅是一種有效的方法，也是一種必要的手段．下面我們主要從反例

3、的作用和反例的構造兩個方面來進行探討．1反例在數(shù)學分析中的作用1．1反例能幫助學生更好地理解概念，糾正對概念的錯誤認識這里我們只舉個簡單的例子：對于liraf(x)=A，它的定義是對任意的8>0，當f、00，V8>0，當0

4、≠l，r氣這就是使用極限的定義不嚴格的反例，通過此例讓學生頓悟，憑主觀想象去代替嚴格定義會導致錯誤．1．2反例有助于學生加強對定理的理解和掌握在數(shù)學分析中，很多定理是充分而非必要的，在說明其逆命題是否成立時，如果考慮一般情況很難說明，如果能舉一些“反例”，則結論即可得出．一14一例1若lim鏟a，則limlaJ=lal，逆命題是否成立，可分兩種情況證明：1)當a=0逆命題成立，易證．2)當a#O時，逆命題不成立，這可以由數(shù)列((一1)n】這個例子說明事實上，limI(-1)“I=1，而lim(_1)“不存在例2

5、定理：若函數(shù)f∞在a連續(xù)，則函數(shù)If(x)在a也連續(xù)．要說明其逆命題是否成立，可以以函數(shù)f(x)=E：。刪即If(x)l=l在x--O處連續(xù)，而f(x)在x=O處不連續(xù)1．3反例是克服思維定勢的有力手段微積分創(chuàng)建初始，數(shù)學界曾長期錯誤認為：“連續(xù)函數(shù)除了個別點外總是處處可導．”但是1872年德國數(shù)學家Weiestrass構造了一個“處處連續(xù)卻處處不可導的函數(shù)”f∞=藝bncos(a啊x)其中b是奇整數(shù)，0l+孚，這一反例震驚了數(shù)學界，給了思維定勢傳統(tǒng)觀念致命一擊．在學習中，學生在教師習慣性程序影

6、響下容易形成固定的思維模式，即定勢．這些定勢和習慣會產生“墨守成規(guī)”、“機械記憶”、等等負面效應，容易形成思維礙障，而反例恰恰能解決這一弊端．學生學完洛必達法則后認為符合條件的求極限問題都能用洛必達法則求解，我們可以舉下面的反例來打破這一定勢．萬方數(shù)據(jù)例f(x)=VT4-；r，g(x)---x，limf(x)=+∞li?mg(x)=+∞，f．(x)=_叁亍，g’(x)=l≠or”。V1+】【‘所以熙器=熙萼之=熙、V／l+}=l一+∞g例一+∞x一伸r莖但是，器=平=赤仍是不等式，再用洛必達法則又恢復到原來的比

7、式，無法得到最終結果．1．4用反例發(fā)展聯(lián)想，促進思考，擴大知識面在收斂級數(shù)性質的教學中，教材只給出了定理：若級數(shù)∑Un與∑Vn都收斂，則級數(shù)∑(un+¨也收斂，在此基礎上可以讓學生思考以下問題，對級數(shù)∑u。與∑v。的以下兩種情況：1)當∑u。與∑Vn均發(fā)散2)當∑Un收斂而∑Vn發(fā)散分別對級數(shù)的斂散行作出判斷，并要求對肯定的結論作出證明，對否定的結論作出舉例，有同學可能會認為1)發(fā)散，為此可提出考慮例子如，它們都發(fā)散，但是它們的通項相加得到的新級數(shù)卻是收斂的，于是回答了問題1)，兩個發(fā)散級數(shù)相加得到的新級數(shù)不一

8、定發(fā)散．問題2)可用反例法去證，易證2數(shù)學分析中反例的構造反例的構造是一種重要的數(shù)學技能，由于數(shù)學本身的抽象性，使得反例的構造不是一件輕而易舉的事，如果能經(jīng)常進行反例構造的訓練，將有助于學生形成良好的思維品質，提高學生分析問題、解決問題的能力．下面我們簡單介紹一種構造法，特例構造法．特例構造法是利用一些典型的反例來科學的湊合，就可提出所需的反例．例y川x)在x=】【0處連續(xù)，是否存在X