數(shù)值分析試b卷附標(biāo)準(zhǔn)答案

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1、上海海事大學(xué)2011---2012學(xué)年第2學(xué)期研究生數(shù)值分析課程考試試卷B（答案）學(xué)生姓名：學(xué)號：專業(yè)：一．填空題（每小格3分共33分）1.以線性迭代求解Ax=b時(shí)，迭代收斂的充要條件是迭代矩陣2.已知，是以整數(shù)點(diǎn)0,1,2,…n為節(jié)點(diǎn)的Lagrange插值基函數(shù)，則：=x，矚慫潤厲釤瘞睞櫪廡賴。3.設(shè)則差商504.對于求解非線性方程，Newton法的迭代公式是5.Newton-Cotes數(shù)值求積公式的代數(shù)精度至少具有n___次，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，求積公式代數(shù)精度至少具有n_+1__次,且16.QR法是計(jì)算非奇異矩陣的所有特征值和特征向量的計(jì)算方法7．求解常微分方程初值問題的Eule

2、r二步法公式為，它是2階方法。一．用基函數(shù)構(gòu)造法，求一個(gè)次數(shù)不高于4次的Hermite插值多項(xiàng)式，使它滿足：，，。（7分）解：解：；插值余項(xiàng)：，，三．假設(shè)已知矩陣A的某個(gè)特征值的近似值，即有，。試分析用什么方法可以修正特征值的近似值，并得到相應(yīng)于特征值的特征向量。（6分）聞創(chuàng)溝燴鐺險(xiǎn)愛氌譴凈。解：設(shè)，故是B的按模最小特征值。由反冪法可得：，作，即得，則對充分大的，（即為特征值對應(yīng)的特征向量）且：四．設(shè)有方程組Ax=b，其中A為對稱正定矩陣，迭代公式試證明：當(dāng)時(shí)，迭代序列收斂。（其中是A的最大特征值）（6分）證明：可以得迭代矩陣，特征值為如，則，故時(shí)，，成立，所以迭代收斂。五．設(shè)，

3、其中A是，當(dāng)取何范圍值時(shí)A為正定。又取何范圍值時(shí)，Jacobi迭代為是收斂的。（6分）證：因?yàn)锳正定，所以各階順序主子式>0,,,得。如2D-A也正定，則Jacobi迭代收斂，所以,,得六．給定求積公式①試決定A、B和C使其具有盡可能高的代數(shù)精度，并指出所達(dá)到的代數(shù)精度的次數(shù)（7分）解　當(dāng)f(x)=1時(shí)　　左＝＝２，　右=A+B+C當(dāng)f(x)=x時(shí)　　左＝＝０，　右=（－A+C）　　　　當(dāng)f(x)=x２時(shí)　　左＝，　右=（A+C）要使求積公式至少具有２次代數(shù)精度，其充分必要條件是Ａ，Ｂ，Ｃ滿足如下方程組：　　　　　　　　　　　　　　解得　　　，，　代入①得②當(dāng)　f(x)=x３時(shí)　

4、?、诘淖螅剑?，右＝０，　左＝右當(dāng)　f(x)=x４時(shí)　　左＝，右＝　　　左≠右綜上，當(dāng)求積公式①中求積系數(shù)取　，，　時(shí)得到求積公式②，其代數(shù)精度取到最高，此時(shí)代數(shù)精度為３　　　　　　七.求在[-1,1]上的最佳二次逼近多項(xiàng)式。已知。（5分）解因所以八．證明用單步法求解初值問題，可以給出準(zhǔn)確解。（7分）解：因：又由taylor展開得：由此：，故當(dāng)時(shí)，該法可得準(zhǔn)確解。九．試用關(guān)于互異節(jié)點(diǎn)和的插值多項(xiàng)式和構(gòu)造出關(guān)于節(jié)點(diǎn)的不超過n-1次的多項(xiàng)式。（7分）解：因?yàn)椋?，且都為不超過n-2次的多項(xiàng)式，故，所以為不超n-1次多項(xiàng)式有得到所以十．證明：左矩形求積公式。設(shè)，試以此構(gòu)造復(fù)合求積公式，并說

5、明該復(fù)合求積公式是收斂的。（8分）解：因?yàn)椋?；故?又：分劃[a,b]得：，k=1,2,…n得復(fù)合公式：所以：=其中：，且有：十一．對于初值問題，若函數(shù)在區(qū)域，滿足條件，試說明二階Runge-Kutta方法在條件下是收斂的。并用該方法求解初值問題，討論絕對穩(wěn)定性對步長的限制。（8分）殘騖樓諍錈瀨濟(jì)溆塹籟。解：因?yàn)椋核裕海渲杏墒諗慷ɡ淼茫憾ARunge-Kutta方法是收斂的。另：由，得。