一道導(dǎo)數(shù)題突破過程

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1、一道導(dǎo)數(shù)題突破的過程紅安縣大趙家高中：倪問1問題緣起最近復(fù)習(xí)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)，筆者給學(xué)生做了一道調(diào)研試卷的壓軸題，效果不是特別理想，很多學(xué)生做對第一問，第二問就無從下手或半途而廢了。在解導(dǎo)數(shù)綜合題時，方法是否得當(dāng)，常常是問題能否順利解決的關(guān)鍵所在。在解題時學(xué)生一般從條件出發(fā)，觀察試驗，向前推進(jìn)，但經(jīng)常是阻礙重重，失去方向，只能望題興嘆。如何進(jìn)行有效的引導(dǎo)，教會學(xué)生突破導(dǎo)數(shù)的壓軸題呢？筆者在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，應(yīng)在方法的突破和細(xì)節(jié)的處理上下功夫。以下筆者摘錄教學(xué)片段和大家共同探討。例題已知定義在實數(shù)集上的偶函數(shù)的最小值為，且當(dāng)時，（為常數(shù)）.（1）求函數(shù)的解析式；（2

2、）求最大的整數(shù)，使得存在實數(shù)，對任意的，都有.本題難度接近高考，考查的是函數(shù)與導(dǎo)數(shù)中的典型方法和基本技能，第一問較簡單，第二問和不等式結(jié)合且字母較多，再加上“存在”和“任意”的表述，難度較大。如何突破，教學(xué)過程如下。2教學(xué)片段2.1經(jīng)歷了思維的困境，對方法進(jìn)行反思教師出示問題，請同學(xué)快速做答，因為第一問較容易，學(xué)生很快完成，但第二問明顯卡殼，推進(jìn)緩慢，教師巡視。師：（十五分鐘后）大部分同學(xué)都有了自己的想法，但能成功解決的并不多，現(xiàn)在請大家談?wù)勛约旱南敕ê妥龇?。?：第一問我很快得出結(jié)果，過程如下：（1）因為是增函數(shù)，所以當(dāng)時，也是增函數(shù).又因為是偶函數(shù)

3、，所以，又最小值是，故.當(dāng)時，因為，所以.綜上知，師：很好，即使是壓軸題，第一問我們都應(yīng)該能很好地解決的。那第二問呢？生1：第二問我嘗試特殊化，將端點代入得到一些不等關(guān)系，過程如下：（2）因為時，有，故.當(dāng)時，，，，；當(dāng)時，同理可得，；從而.同樣地，由及，得.由的存在性知，上述關(guān)于的不等式在區(qū)間上必有解.4到這里我就不知道怎么解決了。師：巡視過程中我發(fā)現(xiàn)很多同學(xué)用這種方法，都是取兩個端點代入，但大部分同學(xué)都和生1一樣無法繼續(xù)突破，那么就用這種方法，如何有效突破難點呢？請大家繼續(xù)思考！2.2解法突破的過程2.2.1導(dǎo)數(shù)開路，零點幫忙，巧渡難關(guān)過了十分鐘，

4、有同學(xué)舉手。生2：我也是用生1的方法，得到關(guān)于的不等式在區(qū)間上必有解.因為在區(qū)間上的最小值為，所以，即①令，則，由，得.當(dāng)時，，是減函數(shù)；當(dāng)時，，是增函數(shù)；故的最小值是又，，而由此可見，方程在區(qū)間上有唯一解，且當(dāng)時，；當(dāng)時，.即在時滿足不等式①的最大實數(shù)解是.而當(dāng)時，，在時，因為，所以；在時，.綜上所述，的最大整數(shù)值是.師：很好！生2構(gòu)造函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)求最值，結(jié)合零點定理逐步縮小并確定的值。這種突破的方法在函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合題中經(jīng)常用到，希望同學(xué)們能熟練掌握！2.2.2先猜后證，正反結(jié)合，旗開得勝生3：我感覺整數(shù)的值不會太大，所以我通過特殊值先猜出的

5、值為4，再進(jìn)行證明，非常高興我成功了！過程如下：滿足條件的最大整數(shù)為.先證符合題意，取當(dāng)時，因為，所以；當(dāng)時，，令，則，由，得.當(dāng)時，，是減函數(shù)；當(dāng)時，，是增函數(shù)；4故的最大值是和中的較大者.因為，，故，即當(dāng)時，.再證時不符合題意，因為不等式對成立，所以必有，因為，所以，這說明時不成立.綜上所述，的最大整數(shù)值是.師：生3的成功告訴我們不是每道題都是順題而解，有時我們可以先猜后證，這樣我們相當(dāng)于先得到結(jié)果，這樣就占據(jù)了主動，目標(biāo)就十分明確，更加有信心完全解決問題。對于一些較難問題，這種突破方法屢見不鮮，應(yīng)加以足夠的重視！2.2.3恒等變形，變量分離，出奇

6、制勝生4：我通過變形轉(zhuǎn)化為非?；镜膯栴}，更加簡捷易懂。由（1）得到，我想這不就是絕對值函數(shù)嗎，得到代入得到，由題對恒成立，即所以，．令，，所以；令，，，要使存在，只要，即．令，則，所以在上為單調(diào)減函數(shù)，且.所以滿足條件的最大整數(shù)的值為4．師：十分精彩！生4的做法簡捷明了，既避免了分類討論，又將這一較難問題轉(zhuǎn)化成十分基本的問題。關(guān)注細(xì)節(jié)的變化，威力往往是巨大的，難點的突破顯得那么自然，那么通俗易懂，這是我們突破難點的非常高的境界。3教后反思：面對具體問題，特別是壓軸題，學(xué)生本身潛意識就有一點恐懼的心理，教師要靈活選擇教學(xué)方式，舍得在課堂上花時間讓學(xué)生暴

7、露自己的思維過程，分析其思維受阻原因及對策，發(fā)現(xiàn)不足，揚長避短。較難問題往往不止一種解法，高考試卷的壓軸題經(jīng)常有十種左右的解法，每一種解法都是一個思維的結(jié)果，然而教師往往忽視思維形成的過程，學(xué)生只能作為教師解題的觀察者和欣賞者，并沒有切身的體會，思維能力沒有得到真正的提高。教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行4解題后的反思，不僅能有效地幫助學(xué)生鞏固知識、技能，而且對提高學(xué)生思維品質(zhì)有特殊功效。反思的內(nèi)容主要有：（1）解題涉及的知識方法有哪些？它們之間有何聯(lián)系？解題過程能否簡化？解題方法能否優(yōu)化？哪些步驟上容易發(fā)生錯誤？原因何在？如何防止？（2）解題時用了哪些思維方法？解

8、法是如何分析而來的？解法是否具有普遍意義？有何規(guī)律？（3）解決問題的關(guān)鍵何在？如何進(jìn)行突破？是