第12講不定方程

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1、第十二講不定方程先看一個問題：老師和小王開了一個玩笑。他對小王說，我左、右兩個手心里各寫了一個整數(shù)，它們的和是10,你能猜出左、右手心各寫的是什么整數(shù)嗎？小王滿有信心地說：能行。于是小王連續(xù)猜了三次。第一次猜：左手心寫的是9,右手心寫的是1,老師說不對；笫二次猜：左手心寫的是5,右手心寫的是5,老師說不対；第三次猜：左手心寫的是7,右手心寫的是3,老師說還是不對。其實我們己經(jīng)知道，這個問題的答案有許多個，不要說猜三次，就是再猜兒次，可能還是沒有恰好猜出來。如果設左、右手心寫的整數(shù)分別為兀、y,那么可以

2、列出方程由于未知數(shù)的個數(shù)比方程的個數(shù)多，于是得到的解不是唯一的，即使再加一些附加條件,對能述是不容易得到合理的答案。一般情況,我們把求這類方程整數(shù)解的問題叫做不定方程。我們再考慮一個實際問題：在長為158米的地段鋪設水管，用的是長度為17米和8米的兩種同樣粗細的水管，問兩種水管各用多少根(不截斷)正好鋪足158米長的地段。由于總長度是158米，那么17米長的水管至多用9根，可以假設17米長的水管用了9、8、7、6、5、4、3、2、1根，再看剩下的長度是否恰好是8的整數(shù)倍。這個辦法是將17米長的水管的各

3、種可能性逐個列舉，再看哪種情況合適，這種方法叫做“窮舉法”。當可取的情況很多時，這種方法當然不能令人滿意，如果情況種類不太多，這種方法還是可行的。如設17米長的水悖用了兀根，8米長的水管用了y根，可以列出方程17x+8y=158,(1)本題要求這個方程的整數(shù)解。我們用下面的方法來求這個方程的整數(shù)解。先將方程變形為：8y=158-17x,(2)8y=152+6-16x—x(3)由于152和16兀都是8的倍數(shù)，因此6-兀也應該是8的倍數(shù)，x只能取6才冇可能，用6代入(2)中，可以解出尸7,所以17米長的水

4、管用了6根，8米長的水管用了7根。1CQ_17兀也可以山方程(2)兩端同除以8得)，=,(4)152+6—16x—x(5)(6)y=19-2x+6-x~~8~6—x由于2均為整數(shù)，g也是整數(shù)，故可知丁也是整數(shù)，顯然只有當尸6時,6—x為整數(shù)，此時一=0,尸19-2X6=7。8這種解法叫做整數(shù)離析法或整數(shù)分離法。一.二元一次不定方程象上面講到的17x+8y=158這種方程中，有兩個未知數(shù)，每個未知數(shù)的次數(shù)都是一次的方程叫做二元一次方程。一般地，形如ax+byr=c的方程中，其中°、b、c為整數(shù)，一幾久b

5、均不為零，稱為耒知數(shù)x、y的二元一次不定方程，人們關心的常是求二元一次不定方程的整數(shù)解或正整數(shù)解。對于上述方程通常要考慮下面幾個問題：1.°、久c是什么樣的整數(shù)時，方程有整數(shù)解或者無整數(shù)解；2.如果有整數(shù)解，將有多少整數(shù)解？是否有解的統(tǒng)一表示辦法？3.如何求出所有的解。我們曾用整數(shù)離析法求出了17兀+8尸158的一組正整數(shù)解尸6,尸7。是否還有其他的正整數(shù)解呢？以上三個問題全部解決，這個問題才算解答完畢。下面我們將通過例題把一些主要結論介紹給大家。如求二元一次不定方程3x+9y=23的整數(shù)解。容易看到

6、等號左端當x、y為整數(shù)吋，能被3整除，但右邊的23不能被3整除，故左右兩端不可能相等，方程沒有整數(shù)解。一般地，當(a,/?)c時｛(a,Z?)表示的是a與b的最大公約數(shù)｝,方程ax+by=c無整數(shù)解。理由是當兀、y為整數(shù)時，左式是(6/,b)的倍數(shù)，但右端卻不是(tz,b)的倍數(shù)，所有原方程無整數(shù)解。再看二元--次不定方程6x+9)=21,由于(6,9)=3,而3

7、21,在這種情況下，方程有無整數(shù)解呢？在方程兩端同除以(6,9)=3,得2x+3尸7,容易看出廠2,尸1就是這個方程的一個整數(shù)解。由于知

8、識的限制，現(xiàn)在我們所學的整數(shù)只冇零和自然數(shù)。在此范圍內(nèi)，方程可能只冇一個或兒個解，其至于可能沒有解，但如果數(shù)的范圍加入了負數(shù)，那么只要(a,b)c,方程就一定有解。例如21x+18y=3,這個方程中,(a,b)=(2,18)=3,方程可以變形為7x+6y=l,這個方程在零和自然數(shù)的范圍內(nèi)無整數(shù)解，在中學學習負數(shù)的概念后，還可以找到方程的整數(shù)解。在本講小我們只討論用小學知識可以求解的題目，但給出的公式卻具有一-般性。在ax+by=c中，如果(a,b)=c,那么方程兩端同除以(a,b)后得住+仞嚴。，

9、如尸兀。，尸為是方程g+切=6的一紐解，那么方程的所有解為°1,其屮『可以取任意整?[y=y()_“數(shù)(包括負整數(shù))。這就是說，如果能求出一組解x=xo，)=yo，就可以直接寫出方程ax+biy=C[的所有解。如求方程4x+3)=17的所有整數(shù)解。由于(4,3)=1,1

10、17,故這個方程肯定有整數(shù)解。容易看到x=2,)=3是方程的一個解，那么4x+3y=17的所有解是彳，其中ty=3_4r可以取任意整數(shù)。當U0時的解即為尸2,尸3,但當/為正整數(shù)時，兀