數(shù)值分析課程設(shè)計(jì)題目與要求應(yīng)數(shù)及創(chuàng)新班

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1、數(shù)值分析課程設(shè)計(jì)題目與要求（12級(jí)應(yīng)數(shù)及創(chuàng)新班）［設(shè)計(jì)題一］編寫順序Gauss消去法和列主元Gauss消去法的函數(shù)，再分別調(diào)用這兩個(gè)函數(shù)求解下而的84階方程組：0168???^7^168000161680680000106186」x2x3■711515■■X2215X231504」然后考慮將方程組的階數(shù)取為10至100Z間多個(gè)值進(jìn)行求解。將你的計(jì)算結(jié)果與方程組的精確解進(jìn)行比較。從“快”、“準(zhǔn)”、“省”三個(gè)方面分析以上兩個(gè)算法，試提出改進(jìn)的算法并加以實(shí)現(xiàn)和驗(yàn)證。［設(shè)計(jì)題二］編寫平方根法和改進(jìn)的平方根法（參見教材《計(jì)算方法》P54的例題2.5）的函數(shù)，

2、然后分別調(diào)用這兩個(gè)函數(shù)求解對(duì)稱正定方程組Ax=b,其中A和b分別為：（1）系數(shù)矩陣A為矩陣（階數(shù)取為10至100之間多個(gè)值）：(2)0向量b隨機(jī)地選取；系數(shù)矩陣A為Hilben矩陣0101■??01■■■999■???10?10011010…0110100110」0110111010LoloO（階數(shù)取為5至40之間多個(gè)值），即A的第i行第j列元素%=向量b的第i個(gè)分量取為6將你的計(jì)算結(jié)果與方程組的精確解進(jìn)行比較。若出現(xiàn)問題，分析其原因，提出改進(jìn)的設(shè)想并嘗試實(shí)現(xiàn)之。［設(shè)計(jì)題三］對(duì)于迭代法池+

3、=0.99?-x；(k=0,1,2,),它顯然有不動(dòng)點(diǎn)/=0

4、。試設(shè)計(jì)2個(gè)數(shù)值實(shí)驗(yàn)得到收斂階數(shù)的大概數(shù)值(不利用判定收斂階的判據(jù)定理)：(1)直接用收斂階的定義；(2)用最小二乘擬合的方法。［設(shè)計(jì)題四］湖水在夏天會(huì)出現(xiàn)分層現(xiàn)象，接近湖面溫度較高，越往下溫度變低。這種上熱下冷的現(xiàn)象影響了水的對(duì)流和混合過程，使得下層水域缺氧，導(dǎo)致水生魚類的死亡。如果把水溫T看成深度x的函數(shù)T(x),有某個(gè)湖的觀測(cè)數(shù)據(jù)如下：T(°C)22.822.822.820.613.911.711.111.1x(m)02.34.99」13.718.322.927.2環(huán)境工程師希望：1)用三次樣條插值求出T(x)。2)求在什么深度處空的絕對(duì)值達(dá)到

5、最大(即°工=0)。dxdx［設(shè)計(jì)題五］某飛機(jī)頭部的光滑外形曲線的型值點(diǎn)坐標(biāo)由下表給出:?I0123456789100701302103375787761012114214621841%05778103135182214244256272275試建立其合適的模擬曲線(未必是用擬合方法)，并求在點(diǎn)x=100,250,400,500,800處的函數(shù)???值y及一階、二階導(dǎo)數(shù)值yS廠。繪出模擬曲線的圖形。［設(shè)計(jì)題六］給定初值問題”=-y+X2e1

6、值解及誤差。比較各方法的優(yōu)缺點(diǎn)，并將計(jì)算結(jié)果與精確解做比較（列表、畫圖）。（方案I）歐拉法，步長(zhǎng)ft=0.025,/?=0.1；（方案II）改進(jìn)的歐拉法，步長(zhǎng)力二0.05"=0.1；（方案III）四階經(jīng)典龍格一庫(kù)塔法，步長(zhǎng)"（）.1。［設(shè)計(jì)題七］生態(tài)環(huán)境學(xué)家在研究自然界中兩個(gè)生物種群數(shù)目變化時(shí)得到一組常微分方程。假設(shè)有兩種生物（例如一種是藍(lán)鯨，另一種是南極磷蝦），前者在時(shí)刻f時(shí)的數(shù)量為旺仃），后者在時(shí)刻f時(shí)的數(shù)目為花仃），并假設(shè)它們都是/的連續(xù)可微函數(shù)。藍(lán)鯨是以磷蝦為主要食物的。當(dāng)沒有食物來源吋藍(lán)鯨數(shù)目會(huì)減少，其減少速度與當(dāng)吋藍(lán)鯨的數(shù)目成線性關(guān)系，即

7、(1)字=-曲/）?at當(dāng)有食物來源時(shí)，藍(lán)鯨的數(shù)目會(huì)增加。增加的速度和它捕食的數(shù)目有關(guān)，即=d兀］(/)(2)合并（1）和（2）,得到藍(lán)鯨變化速度滿足的微分方程半1=一—］（。+dx（（r）x2（/）.at同樣，在沒有藍(lán)鯨時(shí)，磷蝦的增加速度滿足dx0—T=dt-考慮到被捕食情況，則磷蝦的數(shù)FI滿足—ax2（t）~bx｛（t）兀2（/）?dtdxx~dt合并（3）和（5）,得到著名的Lotka-Volterra方程(6)=-cxx+dx}x2=ax2-hx}x2其屮cibsd均為正常數(shù)。（6）是一個(gè)非線性常微分方程組，不可能有解析解。假設(shè)d=1.2,/

8、?=06c=0?&〃=0.3,而且初始值為兀1(0)=2,x2(0)=1.1）分別用歐拉法、改進(jìn)的歐拉法和四階經(jīng)典龍格一庫(kù)塔法，取多種步長(zhǎng)求解（6）。把“仃）和兀2仃）畫在同一張圖上，并給了解釋。2）把（6）的兩個(gè)方程相除，得到dxxax2一bx、x2-cxx+dx}x2(7)嘗試用數(shù)值方法求出無2?山Z間的函數(shù)關(guān)系。并把它畫在以",兀2為坐標(biāo)的圖上，對(duì)所得結(jié)果加以解釋。［要求］一、設(shè)計(jì)題必須用Matlab完成；設(shè)計(jì)題一、二、三必做；設(shè)計(jì)題四、五選做一題，設(shè)計(jì)題六、七選做一題（也可全做）。二、須提交紙質(zhì)課程設(shè)計(jì)報(bào)告，基本內(nèi)容包括（可進(jìn)一步發(fā)揮）：1）

9、設(shè)計(jì)思路、算法步驟（或流程圖）；2）程序清單（幣數(shù)文件、命令文件）（加上必耍的注釋）；3）程序運(yùn)行操作過程與