求函數(shù)的值域

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1、求函數(shù)的值域四川成都高新一中周先華地址：四川省成都高新一中郵編：610041求函數(shù)的值域是函數(shù)教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)，下面結(jié)合實(shí)例，介紹求函數(shù)值域的幾種常用的初等方法，及它們分別適用的題型。1．觀察法：根據(jù)各種非負(fù)數(shù)的特點(diǎn)，及函數(shù)的圖象、性質(zhì)、簡(jiǎn)單的計(jì)算、推理，憑觀察能直接得到一些簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)的值域。例1.求函數(shù)的值域分析：因?yàn)閤-2≠0，則，所以>0且≠1，所以y<2且y≠1.點(diǎn)評(píng)：觀察法適合的題型是函數(shù)解析式中自變量x只出現(xiàn)了一次。2.配方法：充分利用二次函數(shù)可配方的特點(diǎn)，結(jié)合二次函數(shù)的值域求出函數(shù)的值域。例2.求函數(shù)y=-x的值域分析：先求定義

2、域?yàn)閤≥0，≥0則又y=，可視為關(guān)于的二次函數(shù)，由圖象知，y≤.點(diǎn)評(píng)：配方法適合的題型是二次型函數(shù)y=Af2(x)+Bf(x)+C。3.幾何法（或數(shù)形結(jié)合法）:利用函數(shù)的圖象或結(jié)合幾何圖形的方法。uA（,0）vo圖1例3.求函數(shù)y=的值域分析：令，函數(shù)y=u+v，則u2-v2=2(u≥0,v≤0)所表示的曲線如圖1，可由等軸雙曲線在第四象限內(nèi)的部分（含頂點(diǎn)）與直線y=u+v有公共點(diǎn)時(shí)的截距的范圍，求出引函數(shù)的值域。當(dāng)直線過(guò)頂點(diǎn)A（，0）時(shí)，y的最大值為，當(dāng)直線為漸近線u+v=0時(shí)與雙曲線無(wú)交點(diǎn)，所以y∈(0,].點(diǎn)評(píng)：利用圖形的幾何性質(zhì)解題，要求

3、對(duì)幾何知識(shí)有非常好的理解能力；適用于較方便利用代數(shù)式的幾何意義的題目。例4.求函數(shù)y=的值域分析：y==，可視y為過(guò)點(diǎn)A（cosx,-sinx）、B(2,0)的直線的斜率。顯然，A點(diǎn)的軌跡為一個(gè)單位圓，如圖2，y=為定點(diǎn)B（2，0）到單位圓上的點(diǎn)的斜率的取值范圍，即切線位置時(shí)，≤≤，Bxy0則y∈[,].點(diǎn)評(píng)：（1）斜率公式用來(lái)解決此類(lèi)題比較方便，原因是公式簡(jiǎn)潔、圖形上斜率直觀。（2）幾何法適合題型：較容易地與幾何圖形聯(lián)系的題型。4.不等式法：運(yùn)用均值不等式例5.求函數(shù)（x>1）的值域。分析：=,當(dāng)且僅當(dāng)即x=2時(shí)取得“=”號(hào)，因此y∈[7,+∞

4、).點(diǎn)評(píng)：（1）不等式法適合于解析式能運(yùn)用均值不等式的函數(shù)；（2）使用中注意公式成立的條件“正、定、等”。5.換元法：分為三角換元與代數(shù)換元。例6．求下列函數(shù)的值域（1）(2)分析：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?令t=(t≥0)，則x=1-t2，y=1-t2+t=-(t-)2+由二次函數(shù)的圖象可知，y∈(-∞,](2)函數(shù)的定義域?yàn)?1≤x≤1，令x=sint(t∈[-,]),則y=sint+cost=sin(t+),由t+∈[-,],得y∈[-1,].點(diǎn)評(píng)：（1）題用代數(shù)換元法，適用于y=(其中f(x)與g(x)均為x的一次式)（2）題用三角換元法，適

5、用于y=(其中f(x)為x的特殊二次式)（3）換元法是求無(wú)理函數(shù)值域的常用方法，在設(shè)出新元t(或θ)后，新元的范圍的限定要以既不影響x的取值，運(yùn)算起來(lái)又方便為原則。6.分離常數(shù)（或整式）法：對(duì)某些分式型的函數(shù)進(jìn)行分離，使函數(shù)解析式更為簡(jiǎn)潔。例7.求y=的值域。分析：原函數(shù)可化為：y=1-，自變量在函數(shù)式中只出現(xiàn)了一次，由觀察法可求出值域。點(diǎn)評(píng)：類(lèi)似于y=的函數(shù)均適用此法，但這種類(lèi)型的函數(shù)往往也可用反函數(shù)法求解。7.反函數(shù)法：求已知函數(shù)的反函數(shù)的定義域即為原函數(shù)的值域。例8.求y=的值域。分析：求出此函數(shù)的反函數(shù)為f-1(x)=,其中x≠,即原函數(shù)

6、值域?yàn)閧y

7、y≠}點(diǎn)評(píng)：此方法對(duì)y=,且其值域?yàn)閧y

8、y≠}.8.判別式法:把函數(shù)解析式化為關(guān)于x的二次式，利用一元二次方程的根的判別式求出值域。例9.求y=的值域。分析：原函數(shù)解析式變?yōu)椋?y+1)x2-x+2y+2=0,當(dāng)y=-1時(shí)，x=0成立；當(dāng)y≠-1時(shí)，此方程的判別式△≥0解出y∈[-1-,-1+]。點(diǎn)評(píng)：（1）此法適用≠0）型的函數(shù)；（2）在解題過(guò)程中注意對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)是否零的討論。（3）對(duì)形如例5的y=(a,m均不為0)的函數(shù)，可用前面的均值不等式，也可用判別式法。9.單調(diào)性法：先確定函數(shù)在定義域（或它的子集）內(nèi)的單調(diào)性，再求出值域。

9、例10.求的值域。分析：把原解析式化成：y=,顯然是定義域內(nèi)的減函數(shù)，由定義域{x

10、x≥1},當(dāng)x=1時(shí)，原函數(shù)取得最大值為y=,所以值域?yàn)閧y

11、y∈(0,)}點(diǎn)評(píng)：對(duì)于一些能確定單調(diào)性的函數(shù)，用此法是最佳選擇。10.求導(dǎo)法：先利用導(dǎo)函數(shù)求出極大值、極小值，再確定最值從而求出值域。例11.求函數(shù)y=x3-3x2+10(x≥-1)分析：原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為y’=3x2-6x,則當(dāng)x≥2或x≤0時(shí)y’>0，原函數(shù)遞增，否則遞減；x=0與x=2分別為極大值與極小值點(diǎn)，結(jié)合圖象可知，y無(wú)最大值，且最小值在f(-1)=6與f(2)=6的較小者，即y∈[6,+∞

12、).點(diǎn)評(píng)：對(duì)一些易于求導(dǎo)函數(shù)的類(lèi)型，適合用此方法。11.有界性法:充分利用三角函數(shù)或一些非負(fù)數(shù)的式子的有界性，求出值域。例12.求函數(shù)的