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《期權(quán)定價(jià)公式的推導(dǎo)》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。
1、Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式的推導(dǎo)1973年，美國(guó)芝加哥大學(xué)教授FischerBlack和MyronScholes發(fā)表《期權(quán)定價(jià)與公司負(fù)債》一文，提出了著名的Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型，在學(xué)術(shù)界和實(shí)務(wù)界引起強(qiáng)烈的反響，Scholes并由此獲得1997年的諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)。這個(gè)公式的出現(xiàn)也被稱為是華爾街第二次革命。234三個(gè)數(shù)學(xué)概念:隨機(jī)游走布朗運(yùn)動(dòng)鞅5證券交易價(jià)格是隨機(jī)的。雖然證券的當(dāng)前價(jià)值一般并不等于其未來(lái)價(jià)值的數(shù)學(xué)期望，實(shí)際上，長(zhǎng)期以來(lái)，金融學(xué)術(shù)界一直認(rèn)為在一定條件下，證券的當(dāng)前價(jià)值應(yīng)該等于其未來(lái)價(jià)值的數(shù)學(xué)期望?！鹑趯W(xué)中的“學(xué)院派”的最根本的觀點(diǎn)
2、。這一觀點(diǎn)的修正和發(fā)展在金融學(xué)上稱為是有效市場(chǎng)假設(shè)：如果由于金融市場(chǎng)的充分發(fā)展，使得它對(duì)證券價(jià)格的調(diào)整效率非常高，那么證券的市場(chǎng)價(jià)格已經(jīng)充分反映了證券的真實(shí)價(jià)值。即使它的未來(lái)價(jià)格還會(huì)有一定的隨機(jī)波動(dòng)，但這種波動(dòng)并不是一種價(jià)格趨勢(shì)，其平均值還是與當(dāng)前價(jià)格一樣。所以，我們可以認(rèn)為證券的未來(lái)價(jià)格與當(dāng)前價(jià)格之間只相差一項(xiàng)隨機(jī)干擾。6假定某證券的當(dāng)前價(jià)格為p0，p1，p2，…，pn，其中p0是證券的當(dāng)前價(jià)格，它是一個(gè)定常數(shù)，p1，p2，…，pn等都是證券的未來(lái)價(jià)格，從當(dāng)前來(lái)看都是隨機(jī)變量。于是它們之間就有這樣的關(guān)系：其中“隨機(jī)干擾”是一些均值為0的隨機(jī)變量。如果我們認(rèn)為這些“隨機(jī)干擾
3、”互相獨(dú)立且同分布，就可以引出隨機(jī)游走和布朗運(yùn)動(dòng)的概念。7由上面這些關(guān)系式，我們可以引出由此得到的反映證券價(jià)格變化的隨機(jī)序列稱為隨機(jī)游走。這個(gè)名稱最初是對(duì)ε以相同概率取的隨機(jī)變量而言的。在這種情況下，這個(gè)隨機(jī)序列可形象地解釋為一個(gè)醉漢在路上橫行。在每一時(shí)刻，他既可以往左走一步，也可能往右走一步。它也就是所謂的“隨機(jī)游走”。盡管醉漢總圍繞原點(diǎn)徘徊，但時(shí)間越長(zhǎng)，他就可能離原點(diǎn)越遠(yuǎn)。8令?t代表一個(gè)小的時(shí)間間隔，?z代表隨機(jī)變量z在?t時(shí)間內(nèi)的變化，則標(biāo)準(zhǔn)的布朗運(yùn)動(dòng)?z具有下述兩個(gè)特征：特征1：，其中ε是服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量。特征2：對(duì)于任意兩個(gè)不同的時(shí)間間隔?t，?z相互
4、獨(dú)立。由特征1可知，?z也服從正態(tài)分布，其均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為。由特征2可知，標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)是馬爾可夫過(guò)程的一種特殊形式。9“證券的未來(lái)的未來(lái)價(jià)格的平均值等于其未來(lái)價(jià)格”的明確數(shù)學(xué)定義鞅——一個(gè)隨機(jī)序列稱為鞅，就是指它滿足上述式子。10對(duì)于證券來(lái)說(shuō)，它并不是證券價(jià)格的直接增量形成隨機(jī)游走，而是證券價(jià)格的比例增量形成隨機(jī)游走。其中是均值為1的獨(dú)立同分布隨機(jī)變量。令。對(duì)上式的兩端取對(duì)數(shù)，就得到即（1）是隨機(jī)游走序列。11不再成立。這里μ在一段時(shí)期內(nèi)是常數(shù)。把這一離散的價(jià)格變化的關(guān)系式連續(xù)化，就得到這里zt是標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。12由于dzt是標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，因此，在一個(gè)較短的時(shí)間間隔?t以
5、后，證券價(jià)格的變化為：可見(jiàn)也服從正態(tài)分布，其均值為μ?t，標(biāo)準(zhǔn)差為。也就是13風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖 隨機(jī)過(guò)程 偏微分方程f為期權(quán)價(jià)格Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式14資產(chǎn)定價(jià)基本原理只要市場(chǎng)沒(méi)有套利機(jī)會(huì)，那么一定存在一種等價(jià)的概率測(cè)度，使得所有證券及其組合的折現(xiàn)價(jià)格都有“未來(lái)價(jià)值的均值等于其當(dāng)前價(jià)值”的“鞅性質(zhì)”。證券折現(xiàn)價(jià)格的“鞅性質(zhì)”證券折現(xiàn)價(jià)格的水平始終不變，或者說(shuō)，在任何時(shí)候，證券折現(xiàn)價(jià)格的期望凈收益率都是0，毛收益率都是1。15實(shí)際貼現(xiàn)率（effectiverateofdiscount）實(shí)際貼現(xiàn)率：一定時(shí)期內(nèi)的利息與期末累積值的比率，通常用字母d表示。貼現(xiàn)因子：期末的
6、1元在期初的現(xiàn)值，一般用v來(lái)表示，那么16利息力（forceofinterest）利息力是在確切時(shí)點(diǎn)上的利息強(qiáng)度，可以用累積函數(shù)的相對(duì)變化率定義如下：式中為在時(shí)點(diǎn)t的利息力。17在復(fù)利條件下的利息力可見(jiàn)在復(fù)利條件下，利息力是常數(shù)，與時(shí)間t無(wú)關(guān)。將這個(gè)式子變形，可以得到復(fù)利的實(shí)際利率18實(shí)際利率i實(shí)際貼現(xiàn)率d貼現(xiàn)因子v常數(shù)利息力δ實(shí)際利率i—實(shí)際貼現(xiàn)率—1-v貼現(xiàn)因子v1-d—利息力δln(1+i)-ln(1-d)-lnv—19歐式股票買入期權(quán)的定價(jià)公式其中T是到期時(shí)間，S是當(dāng)前股價(jià)，C（S，T）歐式買入期權(quán)的價(jià)格。X是期權(quán)的協(xié)議價(jià)格，r是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)證券的（瞬時(shí)）收益率，σ稱為股
7、價(jià)的波動(dòng)率，N是標(biāo)準(zhǔn)整體分布隨機(jī)變量的分布函數(shù)，它定義為20這個(gè)公式當(dāng)T=0時(shí)，有C(S,0)=(S-X)+，其中(S-X)+表示S-X的正部，即當(dāng)時(shí)，它等于S-X，當(dāng)S-X<0時(shí)，它為0。除股價(jià)的波動(dòng)率σ外，其他參數(shù)都是直接在市場(chǎng)上可以找到的。在嚴(yán)格的意義下，r是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)瞬時(shí)收益率，但是在實(shí)際計(jì)算中，它直接可以用短期利率帶入。21風(fēng)險(xiǎn)證券t時(shí)刻的價(jià)格St遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)，而滿足下列隨機(jī)微分方程：風(fēng)險(xiǎn)證券的折現(xiàn)價(jià)格就是折現(xiàn)價(jià)格。這說(shuō)明仍然遵循幾何布朗運(yùn)動(dòng)，且只有當(dāng)時(shí)才是鞅。μ——股票價(jià)格的平均（瞬時(shí)）收益率;r——無(wú)
