分?jǐn)?shù)階微分方程數(shù)值解地一種逼近方法

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1、實用文案分?jǐn)?shù)階微分方程數(shù)值解的一種逼近方法By:PankajKumar,OmPrakashAgrawal摘要本文提出了一類分?jǐn)?shù)階微分方程（FDEs）的數(shù)值解方案.在這種方法中,FDEs被Caputo型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)所表現(xiàn).Caputo型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的屬性可以讓一個分?jǐn)?shù)階微分方程減弱為一個Volterra型積分方程.這樣做了之后,許多研究Volterra型積分方程的數(shù)值方法也可以應(yīng)用于尋找FDEs的數(shù)值解.本文總時間被劃分為一組小區(qū)間,在兩個連續(xù)區(qū)間中，用二次多項式逼近未知函數(shù).這些近似被替換成轉(zhuǎn)化的Volterra型積分方程由此獲得一組方程.這些方程

2、的解提供了FDE的解.這種方法被應(yīng)用于解決兩種類型的FDEs,線性和非線性.用這里給出的方法得到的解能與解析解和其他方法的數(shù)值解較好的吻合.同時結(jié)果說明這種數(shù)值方法是穩(wěn)定的.1.引言本文討論分?jǐn)?shù)階微分方程的數(shù)值解.分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)和分?jǐn)?shù)階積分近年來收到了廣泛的關(guān)注.在許多實際應(yīng)用中，分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)和分?jǐn)?shù)階積分為考慮的系統(tǒng)提供了更加精確地模型.比如，分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)已經(jīng)被成功地運用到模擬許多粘性材料的依賴頻率的阻尼行為.1980年之前，Bagley和Torvik提出了這個領(lǐng)域已經(jīng)被研究的工作的一個回顧，并且說明了半階導(dǎo)數(shù)模型可以非常好地描述阻尼材料的頻率以來.另

3、一些學(xué)者說明了分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)和分?jǐn)?shù)階積分在電化學(xué)過程，電解質(zhì)極化，有色噪聲，粘性材料和混沌領(lǐng)域的應(yīng)用.Mainardi，Rossikhin和Shitikova提出了分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)和分?jǐn)?shù)階積分在一般固體力學(xué)，特定粘彈性阻尼模型中的應(yīng)用的調(diào)查.Magin提出了分?jǐn)?shù)階微積分在生物工程的三個關(guān)鍵部分的回顧.分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)和分?jǐn)?shù)階積分在其他領(lǐng)域的應(yīng)用以及相關(guān)的數(shù)學(xué)工具和技巧還可以在許多其他文獻(xiàn)上找到.系統(tǒng)模型中分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的引進(jìn)大多會導(dǎo)致分?jǐn)?shù)階微分方程的出現(xiàn).對某些特定的分?jǐn)?shù)階微分方程在通常系統(tǒng)條件下的解，已經(jīng)有幾種方法被找到.標(biāo)準(zhǔn)文檔實用文案這些方法包括，拉普拉斯變

4、換，傅里葉變換，模態(tài)綜合法和特征向量展開法，數(shù)值法以及基于Laguerre積分公式的方法.然而，這些方法中大多數(shù)不能被應(yīng)用到非線性分?jǐn)?shù)階微分方程.更進(jìn)一步的，正如Diethelm等人指出的，這些方法很多只能應(yīng)用到特定類型的分?jǐn)?shù)階微分方程，并且人們并不知道他們能否被推廣.并且，在很多作者的研究成果中，并沒有出現(xiàn)系統(tǒng)性的收斂性分析.最近，對于能被應(yīng)用到線性和非線性分?jǐn)?shù)階微分方程的數(shù)值穩(wěn)定數(shù)值逼近技巧，人們的興趣愈發(fā)濃厚.這些方法技巧大多利用了分?jǐn)?shù)階微分方程可以被減弱為Volterra型積分方程的特性.因此，Volterra型積分方程的數(shù)值解法也可以

5、應(yīng)用到分?jǐn)?shù)階微分方程的解當(dāng)中.Diethelm等人提出了分?jǐn)?shù)階微分方程數(shù)值解的一種PECE方法，其中P,C,E分別代表預(yù)測，校正和估計.這樣一來很多學(xué)者又推廣了應(yīng)用于常微分方程和分?jǐn)?shù)階微分方程的Adams–Bashforth–Moulton型預(yù)測-校正格式.這種方法的提出也是利用分?jǐn)?shù)階微分方程可以被轉(zhuǎn)化為Volterra型積分方程的特點.這些作者同時提出了誤差分析和用Richardson外推法改善數(shù)值精度的延伸.Ford和Simpson提出了一種階數(shù)大于1的分?jǐn)?shù)階微分方程的數(shù)值解法.在該公式中，階大于1的分?jǐn)?shù)階微分方程被減弱為階小于1的分?jǐn)?shù)階微

6、分方程，然后用相應(yīng)的數(shù)值解法解由此導(dǎo)出的系統(tǒng).在所有這些方法當(dāng)中，節(jié)點之間的未知函數(shù)用線性函數(shù)逼近.KumarandAgrawal提出了階數(shù)大于1的分?jǐn)?shù)階微分方程的數(shù)值解法.這種方法要求就y(t)和它的導(dǎo)數(shù)在時間節(jié)點上連續(xù).本文基于古典分?jǐn)?shù)階微分方程可以轉(zhuǎn)化為Volterra型積分方程的特點也提出了一種數(shù)值方法來逼近分?jǐn)?shù)階微分方程的解.特別地，我們用二次逼近函數(shù)來建立這種算法，結(jié)果說明這種方法可以被應(yīng)用到尋求分?jǐn)?shù)階微分方程的數(shù)值解.我們還通過兩個例子，線性和非線性問題的解決，說明了這種方法的高效和準(zhǔn)確，并且這種數(shù)值方法是穩(wěn)定的.2.數(shù)值算法關(guān)于

7、分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義已經(jīng)出現(xiàn)有好幾種，它們包括Riemann–Liouville,Grun-wald–Letnikov,Weyl,Caputo,Marchaud,和Riesz分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù).這里，我們規(guī)定使用Caputo導(dǎo)數(shù).其中，Caputo導(dǎo)數(shù)的定義是標(biāo)準(zhǔn)文檔實用文案,(n-1<α

8、考慮含有Caputo導(dǎo)數(shù)的初值問題:(2)在初始條件：,k=0,1,...,n-1,(3)下的解，其中，f是任意函數(shù)，是y的k階導(dǎo)數(shù)，，k=0,1,…