基于應(yīng)力的結(jié)構(gòu)形狀最優(yōu)化條件研究

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1、_______________________________________________________________________________www.paper.edu.cn基于應(yīng)力的結(jié)構(gòu)形狀最優(yōu)化條件研究吳志學(xué)（揚(yáng)州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,揚(yáng)州225009）摘要基于生物適應(yīng)性生長(zhǎng)原理，對(duì)基于應(yīng)力的結(jié)構(gòu)形狀最優(yōu)化條件進(jìn)行了研究。結(jié)構(gòu)形狀最優(yōu)化的必要條件是：對(duì)具有確定的邊界條件和設(shè)計(jì)域的結(jié)構(gòu)，其自由邊界線上的應(yīng)力一定為均勻應(yīng)力。根據(jù)最優(yōu)化條件，兩類經(jīng)典的基于應(yīng)力的結(jié)構(gòu)形狀優(yōu)化問題，即，求最小最大應(yīng)力問題和給定應(yīng)力條件下求最小面積問題，得到了統(tǒng)一。

2、另外，利用最優(yōu)化條件還可以解決帶有附加幾何約束的優(yōu)化問題。提出了一種簡(jiǎn)單且能夠按給定的誤差精度要求對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化的二維結(jié)構(gòu)形狀優(yōu)化方法。最后，應(yīng)用有限元實(shí)例對(duì)所提出的最優(yōu)化條件和優(yōu)化方法進(jìn)行了驗(yàn)證。關(guān)鍵詞生物適應(yīng)性生長(zhǎng)原理，結(jié)構(gòu)形狀優(yōu)化，工程設(shè)計(jì)，最優(yōu)化條件，有限單元法引言結(jié)構(gòu)形狀優(yōu)化是工程設(shè)計(jì)領(lǐng)域的一個(gè)分支，它主要研究如何確定連續(xù)體結(jié)構(gòu)的邊界形狀以最大的可能來提高結(jié)構(gòu)的承載能力、消除（或減少）材料的冗余和延長(zhǎng)結(jié)構(gòu)壽命等。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，以有限元分析技術(shù)為基礎(chǔ)的工程設(shè)計(jì)過程和計(jì)算機(jī)輔助制造技術(shù)都得到了極大的發(fā)展，為復(fù)雜的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)問題奠定了研究和

3、應(yīng)用基礎(chǔ)。近年來，相繼出現(xiàn)了很多新的優(yōu)化方法，如以遺傳[1-3][4-7][8，9]算法為基礎(chǔ)的優(yōu)化方法，以模擬生物的生長(zhǎng)原理為基礎(chǔ)的優(yōu)化方法，無梯度優(yōu)化法，模擬[10]光彈實(shí)驗(yàn)優(yōu)化法等。雖然現(xiàn)有的優(yōu)化方法針對(duì)不同的具體問題有著各自的優(yōu)點(diǎn)，但由于結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題的復(fù)雜性，到目前為止還沒有人明確提出結(jié)構(gòu)形狀的最優(yōu)化條件，即，如何判定最優(yōu)結(jié)構(gòu)形狀。這意味著現(xiàn)有的優(yōu)化方法只能獲得“好”的或“較好”的結(jié)果，但無法獲得“最好”的結(jié)果。這一問題得不到徹底解決，就無法對(duì)應(yīng)用各種優(yōu)化方法得到的結(jié)果進(jìn)行準(zhǔn)確評(píng)價(jià)，也無法按給定的精度要求對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化。[4，5]Mattheck

4、根據(jù)生物結(jié)構(gòu)的力學(xué)特征，曾提出過應(yīng)力均勻性原理：在給定的外載荷作用下，最優(yōu)結(jié)構(gòu)沿缺口邊界上的應(yīng)力應(yīng)當(dāng)完全是均勻的。然而，除了個(gè)別幾種情況外，對(duì)于大多數(shù)工程結(jié)構(gòu)，這樣的等應(yīng)力缺口并不存在。Cherkaev等采用變分原理討論了應(yīng)力場(chǎng)內(nèi)孔洞形狀最優(yōu)化的必要[11]條件。根據(jù)能量理論，沿最優(yōu)孔洞邊界上的應(yīng)力應(yīng)當(dāng)為常數(shù)。然而他們發(fā)現(xiàn)，獲得這樣的完全等應(yīng)力邊界是不可能的，但可以獲得分段等應(yīng)力邊界。這表明，應(yīng)用現(xiàn)有的固體力學(xué)理論似乎很難導(dǎo)出一般情況下的最優(yōu)化條件。本文根據(jù)生物適應(yīng)性生長(zhǎng)原理，對(duì)基于應(yīng)力的結(jié)構(gòu)形狀最優(yōu)化條件進(jìn)行了研究，并建立了一種模擬生物適應(yīng)性生長(zhǎng)過程的

5、優(yōu)化方法。1結(jié)構(gòu)形狀最優(yōu)化條件1.1生物適應(yīng)性生長(zhǎng)原理自然界中，生物結(jié)構(gòu)的形狀通常具有最優(yōu)特征，比如樹的干、枝結(jié)構(gòu)，動(dòng)物的骨骼、爪等結(jié)構(gòu)。[5]這樣的形狀主要通過兩種方式來獲得：一種是長(zhǎng)期的自然選擇和遺傳繼承；另一種是適應(yīng)性生長(zhǎng)?；趹?yīng)力的適應(yīng)性生長(zhǎng)的含義是：在“高應(yīng)力”區(qū)邊界增加材料或在“低應(yīng)力”區(qū)邊界減少材料。生物體通過適應(yīng)性生長(zhǎng)調(diào)節(jié)方式使自身結(jié)構(gòu)的受力狀態(tài)最合理，即，結(jié)構(gòu)的最大應(yīng)力最小并且無冗余材料。應(yīng)用生物適應(yīng)性生長(zhǎng)原理，必須接受如下兩個(gè)假設(shè)：（1）在高應(yīng)力區(qū)合理地增加材料會(huì)降-1-________________________________

6、_______________________________________________中國(guó)科技論文在線www.paper.edu.cn低該區(qū)域的應(yīng)力，雖然這也會(huì)引起該區(qū)域周圍附近的應(yīng)力有所增大；（2）適當(dāng)減少低應(yīng)力區(qū)的材料僅導(dǎo)致該區(qū)域內(nèi)的應(yīng)力有所增大，但不會(huì)增大，甚至?xí)p小該區(qū)域以外的應(yīng)力。另一個(gè)關(guān)鍵問題是必須確定一個(gè)合理的優(yōu)化準(zhǔn)則來決定多大的應(yīng)力算作是“高應(yīng)力”和“低應(yīng)力”。對(duì)于生物而言，它可能是根據(jù)自身材料的強(qiáng)度來確定優(yōu)化準(zhǔn)則，如最大拉伸極限應(yīng)力。生物體在生長(zhǎng)過程中會(huì)努力降低“高應(yīng)力”以避免失效，以及盡可能減少“低應(yīng)力”區(qū)的材料以減輕“累贅”

7、。顯而易見，如果幾何約束不存在，生物通過自我調(diào)節(jié)可以實(shí)現(xiàn)邊界上的完全均勻應(yīng)力狀態(tài)。然而，幾乎所有工程中使用的零件必須滿足某些幾何約束，且在大多數(shù)情況下不可能獲得沿缺口邊界完全均勻的應(yīng)力分布。因此，搞清楚幾何約束存在這一前提下的結(jié)構(gòu)形狀的最優(yōu)化條件是解決形狀優(yōu)化問題的關(guān)鍵。1.2結(jié)構(gòu)形狀最優(yōu)化條件圖1為一具有確定邊界條件和設(shè)計(jì)域的彈性固體模型。優(yōu)化目標(biāo)是在設(shè)計(jì)域?內(nèi)通過改變域邊界形狀以獲得最佳設(shè)計(jì)。設(shè)計(jì)域的內(nèi)、外邊界線分別由Γi和Γo表示。為簡(jiǎn)便起見，圖中僅顯示了位于該模型右側(cè)的幾何元素。一般情況下，當(dāng)該模型達(dá)到最優(yōu)形狀時(shí)，設(shè)計(jì)域內(nèi)的最優(yōu)邊界線應(yīng)當(dāng)由位于設(shè)

8、計(jì)域邊界上的線段（稱之為固定邊界）和位于設(shè)計(jì)域內(nèi)的曲線（稱之為自由邊界，也就是待