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《矩陣分析引論第(I)章》由會員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在學(xué)術(shù)論文-天天文庫。
1、第一章線性空間與線性變換§1線性空間的概念§2基變換與坐標(biāo)變換§3子空間與維數(shù)定理§4線性空間的同構(gòu)§5線性變換的概念§6線性變換的矩陣表示§7不變子空間第一章線性空間與線性變換回顧幾個預(yù)備概念集合數(shù)集有理數(shù)集Q實(shí)數(shù)集R復(fù)數(shù)集CQQ?R?CC復(fù)數(shù)集合中的任意非空子集合P含有非零的數(shù)，且其中任意兩數(shù)的和、差、積、商仍屬于該集合P，則稱數(shù)集P數(shù)域Q為一個數(shù)域。（注意0和1）有理數(shù)域Q實(shí)數(shù)域R復(fù)數(shù)域C1線性空間的概念第一章線性空間與線性變換集合V中元素的運(yùn)算：我們只考慮加法，加號+任意,xyV?,有x??yV,且若x?uy,?v,則x?y??uv數(shù)域P中的數(shù)與集合V中的元素之間的運(yùn)算
2、：稱為數(shù)量乘法，運(yùn)算結(jié)果稱為數(shù)量乘積，省略乘號任意數(shù)??P與任意元素xV?,有?xV?如果這兩個運(yùn)算滿足如下八條規(guī)則，就稱集合V為數(shù)域P上的線性空間或向量空間。元素稱為向量。任意,???P,任意xyzV,,?,及零元素??V1線性空間的概念第一章線性空間與線性變換八條規(guī)則附帶性質(zhì)交換律xy???yx;零與零元素0x??;集合律(xy?)???zx(yz?);數(shù)與零元素????;零元素x???x;負(fù)數(shù)負(fù)元素(1)?x??x;負(fù)元素xx????x(x)??;減法運(yùn)算x????yx(y)單位乘1x?x;交換律(??x)(???);x零向量唯一結(jié)合律(???)x??x??x;負(fù)元素唯一
3、結(jié)合律(?xy?)??x??y1線性空間的概念第一章線性空間與線性變換線性空間之例nV?????1,2,?,?n????iP?記為P????nn?V?AA?aij,?aij?P記為PV??ft()()ft?Rt,?[,]ab?記為L[,]abV??作用在某質(zhì)點(diǎn)的力?1線性空間的概念第一章線性空間與線性變換作用在某質(zhì)點(diǎn)的所有力的集合構(gòu)成一個線性空間（向量空間）xyxyz,,,...z力向量xy?x??R實(shí)數(shù)域zx滿足八條規(guī)則?z1線性空間的概念第一章線性空間與線性變換有關(guān)定義線性相關(guān)與線性無關(guān)?x??y????z??,,,???,?不全為零線性相關(guān)????????0線性無關(guān)n維線
4、性空間有且只有n個線性無關(guān)的向量基任何一組n個線性無關(guān)的向量?？梢杂袩o數(shù)組基?；蛄客ǔＳ涀鱡e1,2,?,en向量x的基表示x??11e??22e????nne?稱為坐標(biāo)或分量i1線性空間的概念第一章線性空間與線性變換基下向量有兩組基，分別為nx???ieiee1,,2?,en和,,ee1??2?,en?i?1n其關(guān)系為x???i??eii?1e??ae?ae???ae1111212n1n過渡矩陣或稱變換矩陣e??ae?ae???ae2121222n2n??a11a12?a1n???aa?ae??ae?ae???aeA??21222n?n1n12n2nnn??????也可寫成
5、??n??aa?a??n1n2nnei???aekik,i?1,2,?,nk?12基變換與坐標(biāo)變換第一章線性空間與線性變換坐標(biāo)之間的關(guān)系坐標(biāo)變換????aa?a?????111121n1???????aa?a???2???21222n??2??????????????????????????aa?a????????nn1n2nnn??????????????1111???????????????2??A?2??2??A?1?2????????????????????????n?????n??????n??????n??2基變換與坐標(biāo)變換第一章線性空間與線性變換子空間就是線性空間
6、的子集，但得自成線性空間。如何判斷W是V的子空間？準(zhǔn)則：xyW,????xyW;xW?,??P??xW?零子空間由單個的零向量組成的子集零維平凡子空間線性空間V本身n維子空間之例W??xx??y??z,任意??,?P,給定yzV,??3子空間與維數(shù)定理第一章線性空間與線性變換設(shè)和為的子空間，有以下結(jié)果VVV12交集W?V1?V2??xxVxV?1,?2?,也是子空間；和集W?V1?V2??x?yxVyV?1,?2?,也是子空間；直和W?V1?V2??z??xyxVyV?1,?2,沒有其他的與，xy?也是子空間，記為W?V?V12維數(shù)公式：dimV?dimV?dim(V?V)di
7、m(?V?V)12121或dim(V?V)?dimV?dimV?dim(V?V)12121若是直和，則有dim(V?V)?dimV?dimV12123子空間與維數(shù)定理第一章線性空間與線性變換子空間的交集W?V?V是子空間12零向量屬于W任取x,y?W，則x,y?V，所以ix?y?V,i?1,2i又??P,x?W?x?Vi?x?W3子空間與維數(shù)定理第一章線性空間與線性變換V???ab00?a,b?R?1四維空間中V???00c0?c?R?的三個子空2間V???0de0?a,b?R?3W?V?V
