《特征值與特征向量》課件

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1、特征值與特征向量從本節(jié)開始，我們主要討論，如何選擇一組適當(dāng)?shù)幕?，使V的某個線性變換在這組基下的矩陣就是一個對角矩陣?引入有限維線性空間V中取定一組基后，V的任一線性希望這個矩陣越簡單越好，如對角矩陣.變換都可以用矩陣來表示.為了研究線性變換性質(zhì)，設(shè)　是數(shù)域P上線性空間V的一個線性變換，則稱為的一個特征值，稱　為　的屬于特征值一、特征值與特征向量定義：若對于P中的一個數(shù)　　存在一個V的非零向量使得的特征向量.①幾何意義：特征向量經(jīng)線性變換后方向保持由此知，特征向量不是被特征值所唯一確定的，注：相同　　　或相反時②若

2、是的屬于特征值　的特征向量，則也是的屬于　的特征向量.但是特征值卻是被特征向量所唯一確定的，即若　　　　　且　　　　　，則設(shè)　　是V的一組基，線性變換　在這組基下的矩陣為A.下的坐標(biāo)記為二、特征值與特征向量的求法分析：設(shè)　是　的特征值，它的一個特征向量　在基則在基　　　　　下的坐標(biāo)為而的坐標(biāo)是于是又從而又即是線性方程組的解，∴有非零解.所以它的系數(shù)行列式以上分析說明：若　是　的特征值，則反之，若　　　滿足則齊次線性方程組　　　　　　　有非零解.若　　　　　　　是　　　　　　　一個非零解，特征向量.則向量　　　　　

3、　　　　就是　的屬于　的一個設(shè)　　是一個文字，矩陣　　　　稱為稱為A的特征多項式.1.特征多項式的定義A的特征矩陣，它的行列式（　　　是數(shù)域P上的一個n次多項式）②矩陣A的特征多項式的根有時也稱為A的特征值,注：①若矩陣A是線性變換　關(guān)于V的一組基的矩陣，而　是　的一個特征值，則　是特征多項式的根，即的一個特征值.反之，若　是A的特征多項式的根，則　就是（所以，特征值也稱特征根.）而相應(yīng)的線性方程組　　　　　的非零解也就稱為A的屬于這個特征值的特征向量.i)在V中任取一組基寫出在這組基下就是　的全部特征值.ii)

4、求A的特征多項式在P上的全部根它們2.求特征值與特征向量的一般步驟的矩陣A.iii)把所求得的特征值逐個代入方程組的全部線性無關(guān)的特征向量在基　　　　下的坐標(biāo).)并求出它的一組基礎(chǔ)解系.(它們就是屬于這個特征值則就是屬于這個特征值　的全部線性無關(guān)的特征向量.而（其中，　　　　　　　不全為零）就是　的屬于　的全部特征向量.如果特征值　對應(yīng)方程組的基礎(chǔ)解系為：對　　　　　　　　皆有所以，V中任一非零向量皆為數(shù)乘變換K的特征向量.例1.在線性空間V中，數(shù)乘變換K在任意一組基下的矩陣都是數(shù)量矩陣kE，它的特征多項式是故數(shù)

5、乘法變換K的特征值只有數(shù)k，且解：A的特征多項式例2.設(shè)線性變換　在基下的矩陣是求　特征值與特征向量.故　的特征值為：　　?。ǘ兀┌汛臊R次方程組　　　　　　　得即它的一個基礎(chǔ)解系為：因此，屬于的兩個線性無關(guān)的特征向量為而屬于的全部特征向量為不全為零因此，屬于5的一個線性無關(guān)的特征向量為把代入齊次方程組　　　　　　　得解得它的一個基礎(chǔ)解系為：而屬于5的全部特征向量為三、特征子空間定義：再添上零向量所成的集合，即設(shè)為n維線性空間V的線性變換，為的一個特征值，令　為　的屬于　的全部特征向量則　是V的一個子空間,稱之

6、為　的一個特征子空間.注：的解空間的維數(shù)，且由方程組(*)得到的屬于　的若　在n維線性空間V的某組基下的矩陣為A，則即特征子空間　的維數(shù)等于齊次線性方程組(*)全部線性無關(guān)的特征向量就是　的一組基.四、特征多項式的有關(guān)性質(zhì)1.設(shè)　　　　　　　則A的特征多項式由多項式根與系數(shù)的關(guān)系還可得②A的全體特征值的積＝①A的全體特征值的和＝稱之為A的跡,記作trA.證:設(shè)　則存在可逆矩陣X，使得2.(定理6)相似矩陣具有相同的特征多項式.于是，注：②有相同特征多項式的矩陣未必相似.成是矩陣A的特征值與特征向量.它們的特征多項

7、式都是　　　，但A、B不相似.多項式；而線性變換　的特征值與特征向量有時也說因此,矩陣A的特征多項式也說成是線性變換　的特征①由定理6線性變換　的特征值與基的選擇無關(guān).如設(shè)為A的特征多項式,則證:設(shè)　　是　　　的伴隨矩陣，則3.哈密爾頓─凱萊（Hamilton─Caylay）定理都是λ的多項式，且其次數(shù)不超過n－1.又　　的元素是　　　　的各個代數(shù)余子式，它們因此，　　可寫成零矩陣其中，　　　　　　都是　　的數(shù)字矩陣.再設(shè)則，①而②比較①、②兩式，得③以　　　　　　　依次右乘③的第一式、第二式、…、第n式、第n＋

8、1式，得④把④的n＋1個式子加起來，即得4.設(shè)　為有限維線性空間V的線性變換，　　是的特征多項式，則零變換例3.設(shè)　　　　　　　求解：A的特征多項式用　　去除　　　　　　　　　　　　　　得練習(xí)1：已知　　　　　　為A的一個特征值，則（1）　　　　　必有一個特征值為;（2）　　　　　必有一個特征值為;（3）A可逆時，　必有一個特征值為;（4）A可逆時，　必有一個特征值為.（