應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)第7章參數(shù)估計(jì)

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1、第七章參數(shù)估計(jì)?點(diǎn)估計(jì)?點(diǎn)估計(jì)的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)?充分性與完備性?區(qū)間估計(jì)?正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)7.1點(diǎn)估計(jì)一、參數(shù)估計(jì)的概念定義設(shè)X，…，X是總體X的一個(gè)樣本，其概率函1n數(shù)為f(x;?),???。其中?為未知參數(shù),?為參數(shù)空間,f(x;?)可表示分布律或密度函數(shù).若統(tǒng)計(jì)量g(X,…,X)1n可作為?的一個(gè)估計(jì)，則稱其為?的一個(gè)估計(jì)量，記為??,即???g(X,?,X).1n若x，…，x是樣本的一個(gè)觀測(cè)值，則稱1n???g(x,?,x)為?的估計(jì)值.1n由于g(x，…，x)是實(shí)數(shù)域上的一個(gè)點(diǎn)，現(xiàn)用它1n來(lái)估計(jì)?，故稱這種估計(jì)為點(diǎn)估計(jì)。點(diǎn)估計(jì)的經(jīng)典方法是矩估計(jì)法與極大似然估計(jì)

2、法。二、矩估計(jì)法(簡(jiǎn)稱“矩法”)定義用樣本矩作為總體同階矩的估計(jì)，從而解出未知參數(shù)的方法稱為矩估計(jì)法或矩法。?的矩估計(jì)可記為??M矩估計(jì)??應(yīng)滿足方程：Mnk1kE(X)?Ak??Xi.ni?1nk1k或E[X?E(X)]?Bk??[Xi?X].ni?1k的取值取決于f(x;?)中未知參數(shù)?的維數(shù)。若維數(shù)為1，即僅有一個(gè)參數(shù)，則可在第一個(gè)方程中讓k取1；若維數(shù)為2，則可讓k取1和2，解聯(lián)立方程即可得??與??.余類推。12iid^例1.設(shè)X,?,X~b(m,p),m固定,0?p?1,試求p.1nMm?m?xm?x解?E(X)??x??p(1?p)?mp,?x?x?1^1

3、?令E(X)?X,即可解得p?X.Mm??xiid??e,x?0^例2.設(shè)X1,?,Xn~f(x;?)????0,試求?M.?0,x?0???x解?E(X)??x?edx?1/?,0^?令E(X)?X,即可解得?M?1/X.iid^^22例3.設(shè)X,?,X~N(?,?),??????,??0,試求?和?.1nMM2(x??)?1?2222解?E(X)??xe?dx??,D(X)?E(X??)??,??2??n12?令E(X)?X,D(X)??(Xi?X)?B2,即可解得ni?1^^1n22?M?X,?M?B2??(Xi?X).ni?1iid^^例4.設(shè)X,?,X~U(a

4、,b),a?b,試求a和b.1nMM2b1a?b2(b?a)解?E(X)??xdx?,D(X)?E(X??)?,ab?a212?a?bE(X)??X?2?解方程組?2(b?a)?D(X)??B2?12^^可得aM?X?3B,bM?X?3B.22三、極大似然估計(jì)法1、極大似然思想你從河海大學(xué)校本部去火車(chē)站趕火車(chē)，25分鐘后列車(chē)就要開(kāi)了，你是坐公共汽車(chē)去還是坐出租車(chē)去？答案是坐出租車(chē)去。這是因?yàn)樽鲎廛?chē)在25分鐘內(nèi)趕到火車(chē)站的把握大。一般說(shuō)，事件A與參數(shù)???有關(guān)，?取值不同，則P(A)也不同。若A發(fā)生了，則認(rèn)為此時(shí)的?值就是?的估計(jì)值。這就是極大似然思想。例5設(shè)袋中裝有許

5、多黑、白球，不同顏色球的數(shù)量比為3:1，試設(shè)計(jì)一種方法，估計(jì)任取一球?yàn)楹谇虻母怕蕄。解易知p的值無(wú)非是1/4或3/4?，F(xiàn)從袋中有放回地任取3只球，用X表示其中的黑球數(shù)，則X~b(3,p)，要估計(jì)p的值。對(duì)p的不同取值，X取k=0,1,2,3的概率可列表如下:X0123(p=1/4)27/6427/649/641/64P(p=3/4)1/649/6427/6427/64故根據(jù)極大似然思想即知?1/4,k?0,1p????3/4,k?2,32、似然函數(shù)與極大似然估計(jì)iid設(shè)X,?,X~f(x;?),???,x,?,x為樣本觀測(cè)值,則稱1n1nnL(?)?L(x1,?,xn;

6、?)??f(xi;?)i?1為該總體的似然函數(shù)。它實(shí)際上代表樣本(X,?,X)1N取其觀測(cè)值(x1,?,xn)時(shí)的概率。定義若有????,使得或L(??)?maxL(?)?SupL(?),??????則稱??為?的極大似然估計(jì),記為??.MLE3、極大似然估計(jì)的推求iid設(shè)X,?,X~f(x;?),???,試求?????(X,?,X)1nMLEMLE1n(1)解似然方程法d[L(?)]dLd[lnL(?)]dlnL??0,or??0d?d?d?d?稱為未知參數(shù)?的似然方程。若該方程有解，則其解就是?????(X,?,X)MLEMLE1n(2)直接法由似然方程解不出?的似

7、然估計(jì)時(shí)，可由定義通過(guò)分析直接推求。事實(shí)上??滿足MLE或L(??)?maxL(?)?SupL(?).MLE??????iid^例6設(shè)X,?,X~P(?),??0,試求?MLE1nnn?xin?xi解?L(?)??e???[?(x!)]?1?i?1e?n?ix!i?1ii?1nnlnL???ln(xi!)??xiln??n?i?1i?1ndlnL1?由??xi?n?0d??i?1^n1可解得?MLE??xi?x;ni?1^其極大似然估計(jì)量是?MLE?X.iid^例7設(shè)X,?,X~U(0,?),試求?MLE1nn1?n解L(?)????,0