計(jì)算機(jī)圖形學(xué)電子教案

《計(jì)算機(jī)圖形學(xué)電子教案》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。

1、第7章曲線與曲面曲線曲面的計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)源于20世紀(jì)60年代的飛機(jī)和汽車(chē)工業(yè)。1963年美國(guó)波音公司的Ferguson提出用于飛機(jī)設(shè)計(jì)的參數(shù)三次方程；1962年法國(guó)雷諾汽車(chē)公司的Bézier于提出的以逼近為基礎(chǔ)的曲線曲面設(shè)計(jì)系統(tǒng)UNISURF，此前deCasteljau大約于1959年在法國(guó)另一家汽車(chē)公司雪鐵龍的CAD系統(tǒng)中有同樣的設(shè)計(jì)，但因?yàn)楸Ｃ艿脑蚨鴽](méi)有公布；1964年Coons提出了一類(lèi)布爾和形式的曲面；1972年，deBoor和Cox分別給出B樣條的標(biāo)準(zhǔn)算法；1975年以后，Riesenfeld等人研究了非均勻B樣條曲線曲面，美國(guó)錫拉丘茲大學(xué)的Versprille研究

2、了有理B樣條曲線曲面，20世紀(jì)80年末、90年代初，Piegl和Tiller等人對(duì)有理B樣條曲線曲面進(jìn)行了深入的研究，并形成非均勻有理B樣條(Non-UniformRationalB-Spline，簡(jiǎn)稱NURBS)；1991年國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)組織(ISO)正式頒布了產(chǎn)品數(shù)據(jù)交換的國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)STEP，NURBS是工業(yè)產(chǎn)品幾何定義唯一的一種自由型曲線曲面。曲線的表示形式7.1曲線曲面基礎(chǔ)r(t2)r(t1)OYXZ圖7-1空間曲線平面曲線的直角坐標(biāo)表示形式為：或其參數(shù)方程則為：平面上一點(diǎn)的位置可用自原點(diǎn)到該點(diǎn)的矢量表示：上式稱為曲線的矢量方程，其坐標(biāo)分量表示式是曲線的參數(shù)方程。三維空間曲線可

3、理解為一個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡，位置矢量r隨時(shí)間t變化的關(guān)系就是一條空間曲線。矢量方程為：三維空間曲線的參數(shù)方程為：法平面密切平面從切面tnρbP圖7-2曲線特性分析用s表示曲線的弧長(zhǎng)，以弧長(zhǎng)為參數(shù)的曲線方程稱為自然參數(shù)方程。以弧長(zhǎng)為參數(shù)的曲線，其切矢為單位矢量，記為t(s)。切矢t(s)對(duì)弧長(zhǎng)s求導(dǎo)，所得導(dǎo)矢dt(s)/ds與切矢相垂直，稱為曲率矢量，如圖7-2，其單位矢量稱為曲線的單位主法矢，記為n(s)，其模長(zhǎng)稱為曲線的曲率，記為k(s)。曲率的倒數(shù)稱為曲線的曲率半徑，記為與t和n相互垂直的單位矢量稱為副法矢，記為b(s)。由t和n張成的平面稱為密切平面；由n和b張成的平面稱為法平

4、面；由t和b張成的平面稱為從切面。曲面的表示形式一般曲面可表示為：或其參數(shù)表達(dá)式為：曲面的矢量方程為：參數(shù)u、v的變化區(qū)間常取為單位正方形，即u,v∈[0,1]。x，y，z都是u和v二元可微函數(shù)。當(dāng)(u，v)在區(qū)間[0，1]之間變化時(shí)，與其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(x，y，z)就在空間形成一張曲面。u映射空間域參數(shù)域vrvnruZvv3v2v1v0OuYXr(u,v)圖7-3空間曲面r對(duì)u和v的一階偏導(dǎo)數(shù)為：一階偏導(dǎo)數(shù)ru(u，v)和rv(u，v)繼續(xù)對(duì)u，v求偏導(dǎo)數(shù)，得到四個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù)ruu、ruv、rvu、rvv：直紋面旋轉(zhuǎn)面“線動(dòng)成面”雙線性插值曲面Coons曲面是已知曲面片的四條邊界曲

5、線，由兩張直紋曲面的和減去一張雙線性插值曲面得到的：這種布爾和形式的曲面是Coons于1967年研究的，拼合時(shí)，整張曲面C0連續(xù)，即位置連續(xù)。要達(dá)到C1連續(xù)，必須考慮跨界切矢的插值。Coons曲面（麻省理工學(xué)院）雙線性插值曲面，采用了“先定義線，然后線動(dòng)成面”的思想。張量積曲面也是采用“線動(dòng)成面”的思想，是CAGD中應(yīng)用最廣泛的一類(lèi)曲面生成方法參數(shù)u的分割：及其上的及調(diào)配函數(shù)參數(shù)v的分割：及其上的及調(diào)配函數(shù)定義在uv平面的矩形區(qū)域上的這張曲面稱為張量積曲面。張量積曲面的特點(diǎn)是將曲面問(wèn)題化解為簡(jiǎn)單的曲線問(wèn)題來(lái)處理，適用于拓?fù)渖铣示匦蔚那嫘螤?。映射空間域參數(shù)域vu張量積曲面切矢方

6、向與模：方向相同，模不同，G1連續(xù)；方向相同，模相同，C1連續(xù)；已知曲線r1(u)的末端和曲線r2(v)的首端相連，其不同階次連續(xù)性的要求如下：位置連續(xù)(C0)：曲線段r1(u)的末端與曲線段r2(v)的首端達(dá)到位置連續(xù)的條件為：r1(1)＝r2(0)斜率連續(xù)(C1):曲線段r1(u)的末端與曲線段r2(v)的首端達(dá)到斜率連續(xù)的條件為：若k=1，說(shuō)明曲線段r1(u1)的末端切矢與曲線段r2(u2)的首端切矢方向相同、模長(zhǎng)相等，稱為C1連續(xù)。若k≠1，則說(shuō)明兩段曲線在公共連接點(diǎn)處切矢方向相同，但模長(zhǎng)不相等，這種情況是幾何連續(xù)的，稱為G1連續(xù)，也稱視覺(jué)連續(xù)。曲率連續(xù)(C2):兩曲線

7、段曲率連續(xù)應(yīng)滿足：(1)位置連續(xù)；(2)斜率連續(xù)；(3)曲率相等且主法線方向一致。對(duì)于曲面片，若兩個(gè)曲面片在公共連接線上處處滿足上述各類(lèi)連續(xù)性條件，則兩個(gè)曲面片之間有同樣的結(jié)論。G2連續(xù)滿足條件:幾何意義是：曲線段r2(u)首端的二階導(dǎo)矢應(yīng)處在由曲線段r1(v)末端的二階導(dǎo)矢和一階導(dǎo)矢所張成的平面內(nèi)。C2連續(xù)滿足條件:曲線曲面的光滑連接曲線設(shè)計(jì)基礎(chǔ)插值曲線和擬合曲線（InterpolatecurveandFitcurve）原始數(shù)據(jù)點(diǎn)精確原始數(shù)據(jù)點(diǎn)不精確XYX’Y’由一組基函數(shù)及相聯(lián)系的系數(shù)矢