華科王敏老師自控教案第二章

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1、第二章線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2-1系統(tǒng)的微分方程2-2非線性數(shù)學(xué)模型的線性化2-3線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)2-4控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖2-5反饋控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)12.1系統(tǒng)的微分方程在實(shí)際應(yīng)用中，絕大多數(shù)控制系統(tǒng)在一定的限制條件下，都可以用線性微分方程來(lái)描述。用解析法列寫系統(tǒng)微分方程的一般步驟為：根據(jù)實(shí)際工作情況，確定系數(shù)和各元件的輸入、輸出變量。從輸入端開始，按照信號(hào)的傳遞順序，依據(jù)各變量所遵循的物理、化學(xué)定理，列寫出動(dòng)態(tài)方程，一般為微分方程。消去中間變量，寫出輸入、輸出變量的微分方程。標(biāo)準(zhǔn)化。2例2-1設(shè)一彈簧、質(zhì)量塊、阻尼器組成的系統(tǒng)如圖

2、所示，當(dāng)外力F(t)作用于系統(tǒng)時(shí)，系統(tǒng)將產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)。試寫出外力F(t)與質(zhì)量塊的位移y(t)之間的微分方程。kF(t)mfy(t)3解：若彈簧恢復(fù)力F2(t)和阻尼器阻力F1(t)與外力F(t)不能平衡，則質(zhì)量塊將產(chǎn)生加速運(yùn)動(dòng)，其速度和位移發(fā)生變化。根據(jù)牛頓定理有:式中f—阻尼系數(shù),k—彈性系數(shù)由以上所列方程中消去中間變量：42.2非線性數(shù)學(xué)模型的線性化在一定條件下或在一定范圍內(nèi)把非線性的數(shù)學(xué)模型化為線性模型的處理方法稱為非線性數(shù)學(xué)模型的線性化。飽和非線性xy在工程實(shí)際中，控制系統(tǒng)都有一個(gè)額定的工作狀態(tài)和工作點(diǎn)，當(dāng)變量在工作點(diǎn)附近作

3、小范圍的變化,且變量在給定的區(qū)域間有各階導(dǎo)數(shù)時(shí)，便可在給定工作點(diǎn)的鄰域?qū)⒎蔷€性函數(shù)展開為泰勒級(jí)數(shù)，忽略級(jí)數(shù)中高階無(wú)窮小項(xiàng)后，就可得到只包含偏差的一次項(xiàng)的線性方程。這種線性化方法稱為小偏差法。5例如，設(shè)非線性函數(shù)y=f(x)如圖所示，其輸入量為x，輸出量為y，如果在給定工作點(diǎn)y0=f(x0)處各階導(dǎo)數(shù)均存在，在y0=f(x0)附近將y展開成泰勒級(jí)數(shù)：y=f(x)y0x0xy小偏差線性化示意圖如果偏差Δx=x-x0很小，則可忽略級(jí)數(shù)中高階無(wú)窮小項(xiàng)，上式可寫為K表示y=f(x)曲線在(x0,y0)處切線的斜率。因此非線性函數(shù)在工作點(diǎn)處可

4、以用該點(diǎn)的切線方程線性化。62.3.1傳遞函數(shù)的定義線性定常系統(tǒng)在零初始條件下，輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比，稱為該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。若線性定常系統(tǒng)的微分方程為在初始條件為零時(shí)，對(duì)上式進(jìn)行拉氏變換，得2.3線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)描述該線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為72.3.2傳遞函數(shù)的性質(zhì)1.傳遞函數(shù)表示系統(tǒng)傳遞輸入信號(hào)的能力，反映系統(tǒng)本身的動(dòng)態(tài)特性，它只與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，與輸入信號(hào)和初始條件無(wú)關(guān)。2.傳遞函數(shù)是復(fù)變量s的有理分式函數(shù)，其分子多項(xiàng)式的次數(shù)m低于或等于分母多項(xiàng)式的次數(shù)n，即m≤n。且系數(shù)均為實(shí)數(shù)。3.在同一系統(tǒng)中

5、，當(dāng)選取不同的物理量作為輸入、輸出時(shí)，其傳遞函數(shù)一般也不相同。傳遞函數(shù)不反映系統(tǒng)的物理結(jié)構(gòu)，物理性質(zhì)不同的系統(tǒng)，可以具有相同的傳遞函數(shù)。4.傳遞函數(shù)的定義只適用于線性定常系統(tǒng)。8常把傳遞函數(shù)分解為一次因式的乘積式中的K稱為傳遞函數(shù)的增益或傳遞系數(shù)（放大系數(shù)）。zj(j=1.2.…m)為分子多項(xiàng)式的根，稱為傳遞函數(shù)的零點(diǎn)。Pi(1.2.…n)為分母多項(xiàng)式的根，稱為傳遞函數(shù)的極點(diǎn)。傳遞函數(shù)的分母多項(xiàng)式就是相應(yīng)微分方程式的特征多項(xiàng)式，令該分母多項(xiàng)式等于零，就可得到相應(yīng)微分方程的特征方程。92.3.3典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)比例環(huán)節(jié)的輸出量能夠

6、既不失真又不延遲地反映輸入量的變化。比例環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為比例環(huán)節(jié)又稱放大環(huán)節(jié)。其數(shù)學(xué)方程為式中c(t)為輸出量，r(t)為輸入量，K為放大系數(shù)（或增益）。1.比例環(huán)節(jié)102.慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)又稱非周期環(huán)節(jié)，其輸入、輸出間的微分方程為式中T為時(shí)間常數(shù)，K為比例系數(shù)慣性環(huán)節(jié)的輸出量不能立即跟隨輸入量的變化，存在時(shí)間上延遲，時(shí)間常數(shù)愈大慣性愈大，延遲時(shí)間也愈長(zhǎng)，時(shí)間常數(shù)T表征了該環(huán)節(jié)的慣性。在單位階躍輸入時(shí)慣性環(huán)節(jié)的輸出量是按指數(shù)函數(shù)變化的。當(dāng)t=3T～4T時(shí)，輸出才能接近其穩(wěn)態(tài)值。113.積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)的微分方程是積分環(huán)節(jié)的輸出量是

7、與其輸入量的積分成比例的。由積分環(huán)節(jié)的微分方程求得其單位階躍響應(yīng)為c(t)=Kt單位階躍響應(yīng)的斜率為K，如右圖所示。c(t)t0式中K=1/T，稱為積分環(huán)節(jié)的放大系數(shù)，T稱為積分時(shí)間常數(shù)。124.振蕩環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)的微分方程是當(dāng)輸入為單位階躍函數(shù)時(shí)，可用拉氏反變換求得環(huán)節(jié)的輸出響應(yīng)，如右圖所示。c(t)10t式中T--時(shí)間常數(shù)，?--阻尼比，對(duì)振蕩環(huán)節(jié)有0≤?<1135.微分環(huán)節(jié)理想微分環(huán)節(jié)的微分方程為式中?為微分時(shí)間常數(shù)。理想微分環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)為這是一個(gè)強(qiáng)度為?的理想脈沖。在實(shí)際物理系統(tǒng)中得不到這種理想微分環(huán)節(jié)。146.純滯后

8、環(huán)節(jié)當(dāng)輸入作用到環(huán)節(jié)以后，其輸出量要等待一段時(shí)間?后，才能復(fù)現(xiàn)輸入信號(hào)，在時(shí)間0到?的時(shí)間內(nèi)，輸出量為零，這種具有延時(shí)效應(yīng)的環(huán)節(jié)稱為純滯后環(huán)節(jié)。純滯后環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為式中?為純滯后時(shí)間。當(dāng)輸入信號(hào)為下圖(a)所示的單位階躍函數(shù)時(shí)，其響應(yīng)曲線如下圖