平穩(wěn)時序模型

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1、第二章平穩(wěn)時序模型本章主要內(nèi)容1．平穩(wěn)序列的概念；2．線性記憶系統(tǒng)和ARMA模型的記憶特征3．基本分析工具4．平穩(wěn)ARMA模型的自相關(guān)函數(shù)；5．平穩(wěn)ARMA模型的偏自相關(guān)函數(shù)；6．平穩(wěn)ARMA模型的優(yōu)選方法。第一節(jié)ARMA模型的定義定義2.1滿足如下條件的序列稱為嚴(yán)平穩(wěn)序列?正整數(shù)m,?t,t,L,t∈T，?正整數(shù)τ，有：12mF(x,x,L,x)=F(x,x,L,x)t1,t2Ltm12mt1+τ,t2+τLtm+τ12m定義2.2滿足如下條件的序列稱為寬平穩(wěn)序列2)1EX<∞,?t∈Tt)2EX=μ,μ為常數(shù)，?t∈Tt)3γt,(s)=γ(k,k+

2、s?t)，?t,s,k且k+s?t∈T定義2.3滿足如下條件的序列稱為平穩(wěn)高斯序列：1）Z是正態(tài)分布；t2）對任意的k,t,t,L,t，概率密度函數(shù)ρ(z,z,L,z)和ρ(z,z,L,z)12mt1t2tmt1+kt2+ktm+k是相同的。嚴(yán)平穩(wěn)與寬平穩(wěn)的關(guān)系∑一般關(guān)系y嚴(yán)平穩(wěn)條件比寬平穩(wěn)條件苛刻，通常情況下，嚴(yán)平穩(wěn)（低階矩存在）能1推出寬平穩(wěn)成立，而寬平穩(wěn)序列不能反推嚴(yán)平穩(wěn)成立∑特例y不存在低階矩的嚴(yán)平穩(wěn)序列不滿足寬平穩(wěn)條件，例如服從柯西分布的嚴(yán)平穩(wěn)序列就不是寬平穩(wěn)序列y當(dāng)序列服從多元正態(tài)分布時，寬平穩(wěn)可以推出嚴(yán)平穩(wěn)平穩(wěn)時間序列的統(tǒng)計性質(zhì)正確理解這個

3、定義的確切含義和性質(zhì)，從定義可知：密度函數(shù)不依賴于時間的起點，所有的Z都有相同的均值和相同的方差，如果{Z}的二階矩存在，則{Z}的ttt協(xié)方差只與時間間隔有關(guān)。第二節(jié)ARMA模型的記憶特性2.1線性記憶系統(tǒng)；例1：假設(shè)某人犯有高血壓，且正在服用一種特殊的藥來控制血壓水平，記{x}是t指標(biāo)序列，即?,1如果在t時服藥xt=??,0其他我們能認(rèn)為{}x是系統(tǒng)得激勵或輸入，記{y}是系統(tǒng)的響應(yīng)或輸出變量，假設(shè)在tt時刻t=3時服用了藥，可能有如下幾種不同的響應(yīng)。xtt=3(a)t=3yt2(b)t=4(c)這三種響應(yīng)能分別用下列模型表示：(a)y=ψxt0t

4、(b)y=ψxt1t?1(c)y=ψx+ψxt0t1t?1更一般的形式是：y=ψx+ψx+L+ψx+L（2.1）t0t1t?1jt?j這個系統(tǒng)是線性記憶系統(tǒng)，其中ψ叫第j步的記憶系數(shù)，記憶系數(shù)的集合j(ψ,ψ,L,ψ,L)叫記憶函數(shù)，表達(dá)式（2.1）叫做線性傳遞函數(shù)模型。01j當(dāng)然，在實踐中不一定正好是指標(biāo)變量，在不同的時刻可以有不同的值。例2：假設(shè)廣告{x}對銷售量{y}的動態(tài)影響能夠用下列模型表示：tty=5.0x+0.2x+xttt?1t?2這里，記憶函數(shù)為{}1,0.2,5.0若在時刻3、5、6、9分別做了1、2、1、1個單位的廣告，則{x}如下

5、所t示：33210012345678910111213t則{y}對各時間的廣告的響應(yīng)為t1234567891011121330.52.01.051.04.02.060.52.01.090.52.01.0總0.00.00.52.02.04.54.01.00.52.01.000總的響應(yīng)用圖形表示為：54.543.532.5y21.510.50-0.502468101214t非常清楚，（2.1）式所示的線性動態(tài)模型的輸出序列{y}的行為依賴于：t*輸入序列{x}t4*記憶函數(shù)(ψ,ψ,L,ψ,L)01j2.2時間序列的記憶模式對于平穩(wěn)的時間序列，從原理上可以用

6、如下記憶模式表示：Z?η=a+ψa+L+ψa+L（2.2）tt1t?1jt?j其中{a}是獨立同分布的白噪聲序列，是不可觀測的序列，是外界隨機的沖擊；t{Z}是可觀測的序列，η是它的均衡水平。t例：假設(shè)Z表示某戶人家在第個月的花費，正常水平為tη。在第t個月，家庭受t到頗大的正的振動a的沖擊（例如說兩個婚禮邀請和一些牙科賬單），導(dǎo)致他們的花t費實質(zhì)性的增長，為了彌補超支，在接下來的幾個月家庭的花費會低于正常水平η。對于這個家庭來說，記憶系數(shù)(ψ,ψ,L,ψ,L)將是負(fù)的，且逐漸接近于0。01j雖然線性動態(tài)關(guān)系（2.2）式很普遍，且能表示許多真實的狀況，但

7、當(dāng)有很多非0的記憶系數(shù)ψ時，實際處理起來就變得很困難。這是因為數(shù)據(jù)量經(jīng)常是有限的，隨著j參數(shù)的增加，估價問題就變得越來越突出。解決的一個方法就是按照少數(shù)幾個基本參數(shù)來表示記憶系數(shù)ψ。jj例如：ψ=φ，模型（2.2）就變成jjZ?η=a+φa+L+φa+L（2.2a）ttt?1t?j在這種情況，雖然記憶能夠持續(xù)相當(dāng)長的周期，但所有系數(shù)是一個參數(shù)的函數(shù)。正是基于吝嗇考慮，20世紀(jì)20年代，Yule，然后是Slutsky，發(fā)明了對平穩(wěn)序列非常有用的吝嗇模型。*滑動平均模型MA（MovingAverageModels）*自回歸模型AR（Autoregressiv

8、eModels）52.3MA（滑動平均）模型的記憶特征MA（1）Z?η=a?θa