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《全國希望杯競賽模擬試題（三）》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、源頭學子http://www.wxckt.cnhttp://www.xjktyg.com/wxc題21若，且，則的最小值是.（第一屆高二第一試第20題）解法1比較：當時，，當且僅當時取等號.可見，，當且僅當時取等號..解法2.令且，即，即.可證函數(shù)在上單調遞減，時，.即當時，.解法3令，則（當且僅當時取等號）.又.由，易得（當且僅當時取等號）.于是（時取等號）.故當，即時，-26-源頭學子http://www.wxckt.cnhttp://www.xjktyg.com/wxc.評析解法1的依據(jù)就是課
2、本上一道習題的結論.本賽題就是這道課本習題的變題.利用現(xiàn)成的一些重要結論可以簡化解題過程，尤其是解選擇題、填空題時更可直接利用.由于、時，，當且僅當時取等號，所以解法2將展開成后，只能對使用上述公式（因為，所以必須使時取等號）.若也對使用上述公式就錯了，因為由，得，此時與并不相等.這是同一式子中幾處同時使用基本不等式時必須注意的，是一個常見的易錯點.與不可能相等時，通常運用函數(shù)的單調性求的最小值（易證函數(shù)在上單調減，在上單調增）.解法3運用三角代換法，雖然較繁，但仍可起到開闊視野，活躍思維的作用.拓
3、展命題“若且，則”可作如下推廣：推廣1若且則.證明，當且僅當時取等號..又在及上都是減函數(shù)，當且僅當-26-源頭學子http://www.wxckt.cnhttp://www.xjktyg.com/wxc時取等號.（當且僅當時取等號）.推廣2若，，則.推廣3若，，則.推廣2、3的證明，敘述較繁，此處從略.題22已知，且，則的最小值是.(第八屆高二培訓填空題第6題)解法1..當且僅當時取等號..解法2=9，當且僅當，即時取等號..解法3，當且僅當，即時取等號..評析求條件最值離不開利用條件.如何利用條
4、件？解法1把展開后將用1代，解法2與3將與中的1用代，其目的都是為了能利用均值不等式或基本不等式求最值.拓展此題可作如下推廣：推廣1若，且，則的最小值是.-26-源頭學子http://www.wxckt.cnhttp://www.xjktyg.com/wxc證明，于是，，當且僅當時取等號，的最小值是.推廣2若，且，則的最小值是.證明，，.同理.故，當且僅當時取等號.的最小值是.推廣3若，且，則的最小值是.證明由均值不等式得，,從而-26-源頭學子http://www.wxckt.cnhttp://w
5、ww.xjktyg.com/wxc，當且僅當時取等號.故的最小值是.推廣4若，且，則的最小值為.推廣4的證明與推廣3類似，留給讀者.運用這些推廣，讀者可做練習：1、已知，且，求：（1）的最小值；（2）的最小值；（3）的最小值.2、已知，且，求的最小值.3、已知，且，求的最小值.4、求的最小值.(提示：，原式.)5、已知，且，求-26-源頭學子http://www.wxckt.cnhttp://www.xjktyg.com/wxc的最小值.答案：1、（1）18（2）（3）92、643、4、95、題23
6、設，且，則的最大值是，最小值是．（第六屆高二培訓解答題第2題、第八屆高二第一試第23題）解法1，，．由，有，．記，立得和．故當或時，，當時，．解法2由題意，設．則，當且僅當且，即時取等號．．又．令，則．易知當時，．此時，，即或時，．關于的最大值，還有下列解法．解法3，-26-源頭學子http://www.wxckt.cnhttp://www.xjktyg.com/wxc，當且僅當時取等號．．解法4，．又，當且僅當時取等號．故.評析解法2由考慮到三角換元，這是很自然的事．解法3運用基本不等式及，再由，
7、分別求出與的最大值（注意：必須是與取相同值時與同時取得最大值），從而得到的最大值．解法4與解法3路子不同，實質一樣．但解法3、4都只能解決題中的最大值問題，如何求最小值是本題的難點．解法1中將變形為，并由已知得出，是突破這一難點的關鍵．第九屆高二第一試第15題：“實數(shù)適合條件，則函數(shù)的值域是．”其形式與實質都與本題一樣．以三角代換法求解最為簡捷．（答案為）拓展由題引伸，可以得到：定理1設，則（1）當時，；（2）當時，．證明設，則．又設，-26-源頭學子http://www.wxckt.cnhttp:
8、//www.xjktyg.com/wxc，則．1、當，即時，（1），當且僅當時取等號．（2），當且僅當時取等號．2、當，即時（1）當時，．（2）當時，．又函數(shù)，當時是減函數(shù)，故．綜上所述，當時，；當時，．進一步引伸，可得定理2，若，則（1）當時，；（2）當時，．-26-源頭學子http://www.wxckt.cnhttp://www.xjktyg.com/wxc簡證．令，再由定理1即可得證．再引伸，還可得到定理3設，且，則有證明及平均值不等式題24若，則的最大值是
