Cambridge - English Advanced Grammar In Use

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1、2003IMOshortlist2003IMOshortlist(2003IMO備選題)Algebra(代數(shù))A1.設(shè)a(i=1,2,3;j=1,2,3)為實(shí)數(shù)，當(dāng)i=j時(shí)a為正數(shù)，當(dāng)i1j時(shí)a為負(fù)ijijij數(shù)。證明：分別存在正實(shí)數(shù)c,c,c使123ac+ac+ac,ac+ac+ac,ac+ac+ac111122133211222233311322333全是正數(shù)、全是負(fù)數(shù)、或全是零。A2.找出所有的非減函數(shù)f:???，使得(i)f(0)=0,f(1)=1;(ii)f(a)+f(b)=f(a)f(b)+f(a+b-ab)對所有的a<1

2、實(shí)數(shù)列a3a3a3L,b3b3b3L以及它們的和123123A=a+L+a,B=b+L+b;n=1,2,Ln1nn1n定義c=min{a,b}且C=c+L+c,n=1,2,Liiin1n（1）是否存在序列(a),(b)使得(C)有界，而(A)和(B)ii31ii31nn31nn31nn31無界。（2）對于問題（1）如果增加條件b=1i,i=1,2,L答案如何呢？驗(yàn)證i你的答案。1/8歡迎光臨數(shù)學(xué)競賽網(wǎng)站2003IMOshortlistA4.設(shè)n是一個(gè)正整數(shù)，x,x,L,x是實(shí)數(shù)并且x￡x￡L￡x,求證：12n12n2?n?2n2(n-1)2a.??x-x÷￡?(x-x)。?i

3、j÷3ijèi,j=1?i,j=1b.上式等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)x,L,x是等差數(shù)列。(選為IMO第五1n題。)A5.設(shè)+++?為正實(shí)數(shù)集。找出所有滿足下列條件的函數(shù)f:???(i)對任意的x,y,z?R+，f(xyz)+f(x)+f(y)+f(z)=f(xy)f(yz)f(zx)(ii)對任意的1￡x

4、：?÷3?÷?÷è2n?èn?èn?2/8歡迎光臨數(shù)學(xué)競賽網(wǎng)站2003IMOshortlistCombinatorics(組合)C1.設(shè)A是集合S={1,2,3,L,1000000}的一個(gè)101元子集，求證：存在S中的100個(gè)元素t,t,L,t，使得集合A={x+tx?A},(j=1,2,L,100)12100jj是兩兩不交的。(選為IMO第一題)C2.設(shè)D,D,L,D是平面上的n個(gè)閉圓盤。（一個(gè)閉圓盤是其區(qū)域12n在圓內(nèi)，其邊界是個(gè)圓）設(shè)平面上的每點(diǎn)最多包含在2003個(gè)不同圓盤D內(nèi)。證明存在一個(gè)圓盤D最多與其它7′2003-1個(gè)D圓iki盤相交。C3.設(shè)n35為一給定的整數(shù)

5、。試決定最大的k,使存在n邊形（凸的或非凸的，但區(qū)域內(nèi)不能自相交）有k個(gè)直角內(nèi)角。C4.設(shè)x,L,x和y,L,y為實(shí)數(shù)，且A=(a)為一矩陣，其元素1n1nij1￡i,j￡nì1,ifxi+yj30aij=í.0,ifx+y<0?ij又設(shè)B為只含0,1元的n′n矩陣，且其行和與列和分別等于矩陣A所對應(yīng)的行和與列和。證明A=B。3/8歡迎光臨數(shù)學(xué)競賽網(wǎng)站2003IMOshortlistC5.平面上的每個(gè)格點(diǎn)都是一個(gè)半徑為1/1000的圓盤的圓心。(1).證明：存在一個(gè)等邊三角形其頂點(diǎn)在不同的圓盤內(nèi)。(2).證明：每個(gè)頂點(diǎn)在不同圓盤內(nèi)的等邊三角形其邊長大于96。C6.設(shè)f(k)是

6、滿足下列條件的整數(shù)n的個(gè)數(shù):(i)k0￡n<10，所以n是k位數(shù)碼（十進(jìn)制表示），可以0開頭。(ii)n的數(shù)碼可以重排，使得重排后所得到的數(shù)可以被11整除。證明：對所有的正整數(shù)m,有f(2m)=10f(2m-1)4/8歡迎光臨數(shù)學(xué)競賽網(wǎng)站2003IMOshortlistGeometry（幾何）G1.設(shè)ABCD是一個(gè)圓內(nèi)接四邊形，點(diǎn)P、Q和R分別是D到直線BC，CA，AB的垂足。證明：PQ=QR的充要條件是DABC和DADC的角平分線的交點(diǎn)在AC上。（選為IMO第4題）G2.直線上的三點(diǎn)A，B，C的選擇如下：設(shè)G是過A點(diǎn)和C點(diǎn)的圓，但圓心不在直線AC上，過A點(diǎn)和C點(diǎn)分別做圓G的

7、切線交于P，圓G與直線PB的交點(diǎn)為Q。證明DAQC的角平分線與直線AC的交點(diǎn)和圓G的選擇無關(guān)。G3.已知P為三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)，點(diǎn)D、E和F分別是P到直線222222BC、CA和AB的垂足，且滿足AP+PD=BP+PE=CP+PF。用I,I,I表示三角形ABC的旁心。證明P為三角形III的外心。ABCABCG4.已知G，G，G，G是不同的圓，且G，G外切于P，G,G也外12341324切于P。設(shè)G和G；G和G；G和G；G和G分別交于不同于P點(diǎn)122334412AB×BCPB的A，B，C，D。證明：=2