對流擴(kuò)散方程的一種顯式有限體積——有限元方法

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1、維普資訊http://www.cqvip.com2001年12月應(yīng)用數(shù)學(xué)與計算數(shù)學(xué)學(xué)報第1j卷第2期Dec2001COMMONAPPL．MATHANDCOMPUTli．j5No2對流擴(kuò)散方程的一種顯式有限體積一有限元方法寞f安徽大學(xué)數(shù)學(xué)系合肥，230039)摘要：本文給出非線性對流擴(kuò)散問題的一種有限體積和有限元方法相結(jié)合的顯式離散方法，證明了數(shù)值解的穩(wěn)定性，并給出了一個實際算例。關(guān)鍵詞：對流擴(kuò)散方程，有限體積方法，有限元方法，顯式方法，穩(wěn)定性1．引言對流擴(kuò)散方程是描述有粘可壓縮流Navie>Stokes方程的最簡單模型，它出現(xiàn)在流體力學(xué)，氣動力學(xué)，環(huán)境保護(hù)，化學(xué)工程

2、等各種科技領(lǐng)域，因而，如何更加準(zhǔn)確地求解該方程的數(shù)值解就成為重要問題求以散度形式表示的偏微分方程的弱解大致有兩種常用的方法，即有限元方法(FE)和80年代發(fā)展起來的有限體積方法(FV)有限元方法對應(yīng)于能量方法，自然地導(dǎo)出了橢圓和拋物問題即擴(kuò)散問題的單元離散方法有限體積方法，從積分守恒形式出發(fā)，采用單元剖分，選擇控制元離散，通過引入以Pdenlann問題近似解為基礎(chǔ)的數(shù)值流通量，以一種自然的方式反映出流體力學(xué)中的質(zhì)量，動量，能量等物理量的守恒規(guī)律，可以很好地處理非線性守恒律問題，如Euler方程等．特別是80年代以來，由于自適應(yīng)網(wǎng)格，結(jié)構(gòu)和無結(jié)構(gòu)網(wǎng)格技術(shù)的發(fā)展，有限體

3、積方法得到了更長足的進(jìn)步，在處理大變形，激波和各種復(fù)雜流體動力學(xué)問題的能力，以及在方法的精度和收斂性的理論研究方面都有了實質(zhì)性的進(jìn)展把這兩種方法相結(jié)合，充分發(fā)揮各自的特點(diǎn)，非線性對流項利用FV方法逼近，而擴(kuò)散項利用有限元方法離散，更好地求解具有初邊值條件的對流擴(kuò)散方程．對這種用于對流擴(kuò)散方程的FV—FM格式的討論，在f1,2]中證明了一種半隱式FV．FM離散格式的收斂性和誤差估計結(jié)果，『31給出另一種半隱式FV—FM格式．本文給出一種顯式FV—FM格式，證明了格式的穩(wěn)定性，并用一個算例說明了方法的有效性．本文2001年3月1日收到安徽省教育廳自然科學(xué)研究項目f200

4、1kj012)維普資訊http://www.cqvip.com應(yīng)用數(shù)學(xué)與計算數(shù)學(xué)學(xué)報15卷2．對流擴(kuò)散方程的有限體積法和有限元方法相結(jié)合的顯式離散方法設(shè)n∈僻是多邊形有界區(qū)域，=(1，x2)∈，記Q=n×【0，T)(00為給定的常數(shù)，^∈C1【．滿足fdo)=0，9∈clio，T】：W(Q))，∈’【f2)這里P，g>2．為給出方程的弱形式，記=硎(n)，用”∈V乘方程的兩端，并利用Green公式，得到一婁+n?記b(u，)一J蚤2^(u)箍d·((n·t，))如

5、Vu’z·則問題()的弱解為滿足下列條件的函數(shù)：a)tI∈L(0，：)nL。。(0)b)(“．)+b(“、)十。((，川=(9，∈以(0．)上分布的意義成立，(31【1]中已經(jīng)證明了問題(3)的解存在唯一·設(shè)¨『^是的一種正則無結(jié)構(gòu)三角網(wǎng)格剖分(這里把它稱為基礎(chǔ)網(wǎng)格)，為剖分的三角形單元，={只∈J)表示所有剖分單元的頂點(diǎn)集，其中，表示指標(biāo)集合．令h和分別表示剖分單元T的最大邊長和最小內(nèi)角，目h：maxh，0h：niln0．在基礎(chǔ)網(wǎng)格上，定義相應(yīng)的有限體積多邊形輔助網(wǎng)格={D，i∈．其中，D1表示包括點(diǎn)的多邊形，該多邊形是由包含頂點(diǎn)的所有三角形單元的重心與各邊中點(diǎn)的

6、連線圍成．記，=nD，則r是由一條或兩條線段r囂構(gòu)成，即r=U'a：01r囂、當(dāng)Di維普資訊http://www.cqvip.com2期竇紅：對流擴(kuò)散方程的一種顯式有限體積有限元方法47和D，都交于區(qū)域n的邊界時，=1．否則=2．令s()表示輔助單元D；的所有相鄰多邊形，如果點(diǎn)B∈an．則記s(i)=s()u{一l}-因此，可以得到對任意的D∈，有掃D=u∈s()I1=Uj∈s()uI1囂．為得到6(u)的有限體積逼近(n)的形式，需要引入數(shù)值流通量日(u，n1，其中n=(n1啦)表示8D的外法線方向．?dāng)?shù)值流通量日(u，”n)滿足性質(zhì)：對n，"滿足局部Llpschi

7、tz條件，即，給定M>0，存在c(M)>0使得1H(u．n)日(、，n)lc(M)(1u“l(fā)_一lV一1)，當(dāng)u，”．“∈[一M，^】；另外，口(“n)和∑(“)n是相容的，即日(“12)=∑，l(“)以及守恒性H(u，．n)=一日("．n，n】和關(guān)于第二個變量非增的單調(diào)性等．常用的有Lax—h'~riedrichs和Engquist—Osher等數(shù)值流通量．利用數(shù)值流通量日(“，v，n)和Green定理，對6(“，")可以引入如下的逼近bh(u”)：喜dz”c弓厶喜d)咖sJ∈J?J1=∑()∑∑／r?！芧(“)哪ds8，∑()∑∑日(“(PJ)．“()．n)